Паспорт проекта
Данная научная группа сформировалась на основе научно - исследовательского семинара "Теория вероятностей. Экономические и аналитические приложения", который проходит на факультете Математики НИУ ВШЭ. Участники НУГ объединены общими научными интересами, желанием познавать новое не только в рамках математической науки, но и в области её приложений.
Научные проблемы и конкретные гипотезы по направлениям деятельности НУГ.
1. Научная проблема (В.Д. Конаков - А. Маркова-А.Кожина).
«Исследование схем численного интегрирования СДУ. Применение полученных результатов к исследованию сходимости процедур стохастической аппроксимации и рекуррентного оценивания (процедуры типа Роббинса-Монро), а также к «случайным полетам» (Random Flights)».
Гипотезы, которые будут проверены:
a) Проверить гипотезу о том, что метод "параметрикс" допускает дальнейшее обобщение на случай СДУ с трендами, градиент которых конечен и отделен от нуля.
b) Выяснить возможность применения метода исключения линейного тренда к исследованию стохастических рекуррентных уравнений типа Роббинса – Монро. В случае применимости метода получить локальные предельные теоремы о сходимости к предельному гауссовскому диффузионному процессу.
c) Выяснить возможность применения метода параметрикса для получения локальных предельных теорем для «случайных полетов». В случае применимости метода получить локальные предельные теоремы о сходимости «случайных полетов» к предельному диффузионному процессу.
2. Научная проблема (В.Д. Конаков - П.Мозгунов).
«Выяснить границы применимости фильтра Калмана в моделях с «тяжелыми хвостами» и изучить поведения дифференциальных энтропий в байесовской задаче».
Гипотезы, которые будут проверены:
a) Выяснить границы применимости фильтра Калмана в моделях с «тяжелыми хвостами».
b) Проверить гипотезу о сходимости дифференциальной энтропии вероятности положительного исхода (для бинарной случайно переменной) к гауссовской дифференциальной энтропии.
3. Научная проблема (В.Д. Конаков).
«Исследование дробного по пространству процесса Пуассона, его моделирование и задачи оценивания параметров этого процесса»
Гипотезы, которые будут проверены:
a) Выяснить возможность состоятельно оценить параметры дробного процесса Пуассона по наблюдениям этого процесса.
b) Выяснить возможность моделирования дробного (порядка альфа) процесса Пуассона, используя его представление с помощью устойчивого субординатора порядка альфа.
4. Научная проблема (В.А. Панов - А.Маркова).
«Статистическое оценивание в COGARCH – модели по имеющимся финансовым данным»
Гипотезы, которые будут проверены:
а) гипотеза о возможности выявления реалистичных условий идентификации параметров модели;
b) гипотеза о возможности состоятельного оценивания параметров процесса Леви, используемого для построения COGARCH модели;
с) гипотеза о возможности воспроизведения специальных свойств финансовых данных при соответствующем выборе параметров COGARCH модели.
Цели и задачи по выделенным направлениям исследований.
1) Целью данного исследования является создание теоретической базы для решения сложных проблем, возникающих при попытке анализа динамических процессов в экономике. Следует отметить, что создание такой базы тесно сопряжено с решением большого количества задач, доступных студентам 4-го курса бакалавриата и старше. Например, как видно из описания методики исследования, важными шагами при разработке методов является проверка гипотез на эмпирических данных. Важность этого шага подтверждается тем фактом, что в числе ключевых научных результатов есть работы, посвященные исключительно проверке эффективности применения математического аппарата на финансовых данных. С другой стороны, работа над математическими аспектами приводит к существенному улучшению понимания многих разделов теории вероятностей и функционального анализа. Например, при разработке новых подходов к моделированию зависимости между скачкообразными процессами, необходимо разобраться в задаче моделирования зависимости между случайными величинами, находящей своё применение во многих прикладных областях.
2) Предполагается развить технику метода "параметрикс" для стохастических дифференциальных уравнений, описывающих динамику финансовых активов. Это, прежде всего, касается моделей с линейно растущими трендами, которые естественным образом возникают в моделях финансовой математики. Будет проведено сведение общих процедур стохастического оценивания типа Роббинса-Монро к исследованию последовательности марковских цепей, заданных на уплотняющихся интервалах времени и получены локальные предельные теоремы о сходимости к предельному диффузионному процессу. «Случайные полеты» моделируют движение броуновской частицы в среде, где частица испытывает многократные столкновения с другими, более крупными частицами. Будут получены локальные предельные теоремы, позволяющие строить диффузионные приближения для траекторий таких частиц. Будут получены также оценки скорости сходимости к пределу.
Будет проведен также анализ чувствительности переходных плотностей к возмущениям диффузионных коэффициентов.
3) Целью исследования по направлению COGARCH модели является изучение перспектив применения данной моделей для анализа финансовых данных. На первом этапе работы по данному направлению предлагается решить задачу поиска условий, при которых параметры модели определяются единственным образом, а также задачу разработки методов проверки данных условий на реальных данных. Основной же задачей данного исследования является изучение вероятностных свойств и разработка методов статистического оценивания в COGARCH модели.
4) Н. Лысенко в работе https://news.mail.ru/politics/21477412/?frommail=1 (представлено к публикации) нашел новый класс функций стоимости от терминального значения мартингала и его бегущего максимума, для которых задача максимизации имеет явное представление в терминах вложений Скорохода. В доказательстве использовалась техника транспортной задачи Монжа-Канторовича. Соответствующая задача максимизации мотивирована приложениями в финансовой математике. Планируется развивать это направление. В частности, для некоторых классов мартингалов известно описание распределений функций зависящих от большего числа параметров (пример: минимум, максимум, терминальное значение, none;">http://arxiv.org/abs/1406.0885 ). По-видимому, полученный ранее Лысенко результат допускает обобщение на функции стоимости более общего вида.
В.Д. Конаков, А.Р. Маркова
Научный результат: метод устранения линейного и нелинейного тренда диффузионного уравнения и сведение к задаче уравнения с ограниченными трендом и диффузией. Исследование стохастических рекуррентных процедур типа Роббинса – Монро, будут получены локальные предельные теоремы о сходимости процедур к диффузионному процессу.
Публикация: планируется написание препринта объёмом 20 страниц на английском языке и дальнейшее опубликование этого препринта в издании, индексируемом в базах данных Web of Science или Scopus (предположительно в журнале Aвтоматика и Телемеханика).
В.Д. Конаков, П. А. Мозгунов
Научный результат: изучение свойств фильтра Калмана при распределении ошибок, отличном от нормального; получение свойств дифференциальной энтропии в байесовской задаче.
Публикации: планируется написать статью объёмом 10 страниц на английском языке и опубликовать в журнале индексируемом в WoS and Scopus.
В.А.Панов, А.Р.Маркова.
Научный результат: разработка процедур статистического оценивания для COGARCH – модели.
Публикации: планируется написать препринт объёмом 10 страниц и опубликовать в хранилище препринтов Arxiv.org
Нашли опечатку?
Выделите её, нажмите Ctrl+Enter и отправьте нам уведомление. Спасибо за участие!
Сервис предназначен только для отправки сообщений об орфографических и пунктуационных ошибках.