Семинар «Алгебры Клиффорда и приложения» (2024–2025)

Регулярный научный семинар НУГ «Алгебры Клиффорда и приложения» проводится раз в 2-3 недели по ссылке в Zoom или в аудитории (дополнительная информация о месте проведения семинара указывается ниже).

Руководитель семинара: Широков Дмитрий Сергеевич (dm.shirokov@gmail.com)

Секретарь семинара: Филимошина Екатерина Романовна (efilimoshina@hse.ru)

Приглашаем всех заинтересованных студентов, аспирантов, преподавателей и научных сотрудников принять участие в семинаре в качестве слушателей или докладчиков. Чтобы получать рассылку о предстоящих докладах семинара, необходимо написать на почту секретарю семинара (efilimoshina@hse.ru). 

68. О возможности представления алгебр Клиффорда и алгебр Ли с помощью графов

Дата семинара: 13.12.2025, 14:00

Докладчик: Юдина Ангелина Вячеславовна (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада: 

Установление связи алгебр Клиффорда и алгебр Ли с графами представляет собой нетривиальную математическую задачу. Ее решение может существенно расширить инструментарий для изучения внутренней структуры этих алгебр за счет использования классических методов анализа графов. В докладе рассматриваются подходы к построению квазиалгебр Клиффорда с одномерным центром посредством объединения графов, ассоциированных с исходными алгебраическими структурами, а также способы построения алгебр Ли на основе графов и методы их дальнейшей декомпозиции и классификации.

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/1110670125.html

Видео семинара: https://vk.com/video-227370571_456239056

Презентация доклада: graphs

67. Уравнение Ланцоша (1929) в модифицированной Стандартной модели элементарных частиц

Дата семинара: 04.12.2025, 11:00

Докладчик: Марчук Николай Гурьевич (МИАН и НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада: 

В докладе обсуждаются промежуточные итоги проекта модификации Стандартной Модели элементарных частиц и их взаимодействий, основанный на использовании уравнения Ланцоша (1929) для описания лептонов. Доклад основан на двух статьях автора, опубликованных в 2024 году в журнале ТМФ и в 2025 году в журнале Дифференциальные уравнения.

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/1110425261.html

Видео семинара: https://vk.com/video-227370571_456239055

Презентация доклада: lanczos.pdf

66. Применение геометрической алгебры к задачам геометрии

Дата семинара: 19.11.2025, 19:40

Место проведения: Покровский бульвар, д. 11, корп. R, ауд. R408

Докладчик: Саломадина Полина Максимовна (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада: 

В докладе будут показаны ключевые приёмы использования алгебр Клиффорда (геометрических алгебр) для решения задач геометрии и сопоставление этих подходов со стандартными методами аналитической геометрии. Основной материал будет взят из учебника Лоунесто.

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/1104578324.html

65. О билинейных ковариантах и тождествах Фирца

Дата семинара: 06.11.2025, 10:00

Докладчик: Румянцева София Васильевна (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада: 

В докладе рассматриваются билинейные коварианты и тождества Фирца, возникающие при анализе решений уравнения Дирака и его вещественного аналога, уравнения Дирака – Хестенеса, в пространстве Минковского сигнатуры (1,3). Обсуждаются конструкции Fierz aggregate и «бумерангов», позволяющих восстановить спинор по его билинейным формам. А также анализируется возможность обобщения данных соотношений на многомерный случай для уравнения Дирака – Хестенеса.

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/1104883880.html

Видео семинара: https://vk.com/video-227370571_456239042

Материалы доклада: spinor-approach.pdf, fierz-identities.pdf

64. О доказательстве теоремы Картана – Дьедонне методами геометрической алгебры

Дата семинара: 22.10.2025, 17:00

Место проведения: Покровский бульвар, д. 11, корп. R, ауд. R507

Докладчик: Чан До Минь Чау (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада: 

В докладе будет представлено доказательство классической теоремы Картана – Дьедонне, утверждающей, что любое ортогональное преобразование n-мерного пространства может быть представлено в виде композиции не более чем n отражений относительно гиперплоскостей. Доказательство будет дано в терминах геометрической алгебры и ее операций (геометрического и внешнего произведений, а также скрученного присоединенного действия).

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/1104838149.html

63. Clifford equivariant denoising diffusion models for molecular generation

Дата семинара: 09.10.2025, 10:00

Место проведения: Покровский бульвар, д. 11, корп. G, ауд. G107

Докладчик: Кудряшов Сергей Андреевич (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада: 

Сегодня диффузионные модели получили широкое распространение в генеративных задачах. Тем не менее, вероятностная природа этих моделей ограничивает их применимость задачах, требующих сохранения структуры — например, молекулярной генерации, вынуждая исследователей прибегать к аугментациям данных и другим эвристическим методам. В недавней работе Liu et al. (2025) (https://arxiv.org/pdf/2504.15773) было предложено использовать фреймворк алгебр Клиффорда для получения архитектурно эквивариантных моделей. Доклад будет включать краткое введение в фреймворк диффузионных моделей в дискретном и непрерывном времени, а также обзор вышеназванной работы.

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/1104883858.html

62. Бикватернионы и матрицы второго порядка в уравнениях теории поля

Дата семинара: 11.09.2025, 10:00

Место проведения: Покровский бульвар, д. 11, корп. R, ауд. R207

Докладчик: Марчук Николай Гурьевич (МИАН и НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада: 

Обсудим бикватернионы и матрицы второго порядка как основные математические структуры консервативной модели теории поля.

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/1104883827.html

Видео семинара: https://vk.com/video-227370571_456239041

61. GLGENN: A Novel Parameter-Light Equivariant Neural Networks Architecture Based on Clifford Geometric Algebras

Дата семинара: 02.08.2025, 10:00

Докладчик: Филимошина Екатерина Романовна (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада: 

We propose, implement, and compare with competitors a new architecture of equivariant neural networks based on geometric (Clifford) algebras: Generalized Lipschitz Group Equivariant Neural Networks (GLGENN). These networks are equivariant to all pseudo-orthogonal transformations, including rotations and reflections, of a vector space with any non-degenerate or degenerate symmetric bilinear form. We propose a weight-sharing parametrization technique that takes into account the fundamental structures and operations of geometric algebras. Due to this technique, GLGENN architecture is parameter-light and has less tendency to overfitting than baseline equivariant models. GLGENN outperforms or matches competitors on several benchmarking equivariant tasks, including estimation of an equivariant function and a convex hull experiment, while using significantly fewer optimizable parameters. This talk is based on the work presented at ICML 2025.

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/1092344895.html

Видео семинара: https://vk.com/video-227370571_456239040

Презентация доклада: glgenn.pdf 

60. О применении алгебр Клиффорда для построения эмбеддингов слов

Дата семинара: 19.04.2025, 10:00

Докладчик: Копчев Владислав Олегович (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада: 

В докладе рассматриваются модификации классических подходов к построению эмбеддингов слов, которые позволяют перейти от представлений слов в виде векторов к представлениям в виде мультивекторов из алгебр Клиффорда. Показывается, что подходы на основе алгебр Клиффорда позволяют получить более высокие метрики на классических датасетах и более широкие возможности для интерпретации моделей.

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/1038235175.html

Видео семинара: https://vk.com/video-227370571_456239039

59. О формуле обратного элемента в алгебрах Клиффорда в случае n≤7

Дата семинара: 21.02.2025, 10:00

Докладчик: Абдулхаев Камрон Сирожиддинович (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада: 

Доклад посвящён анализу метода, предложенного Eckhard Hitzer и Stephen J. Sangwine в статье «Construction of multivector inverse for Clifford algebras over 2m+1-dimensional vector spaces from multivector inverse for Clifford algebras over 2m-dimensional vector spaces». В этом подходе результаты для четных размерностей (2m) используются для построения обратных элементов в нечетных случаях (2m+1). В рамках доклада рассматривается применение этого метода в случае n≤7, а также его эффективность при выводе обобщённых безбазисных формул.

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/1023158206.html

Видео семинара: https://vk.com/video-227370571_456239038

Презентация доклада: inverse.pdf

58. Special basis in commutative analogues of Clifford algebras and their irreducible real representations

Дата семинара: 01.02.2025, 10:00

Докладчик: Heerak Sharma (Indian Institute of Science Education and Research (IISER), Pune, India)

Аннотация доклада: 

In this talk, we will first discuss isomorphism classes in commutative analogues of Clifford algebras K_{p,q}s. In Clifford algebra we have the Cartan—Bott theorem which says that Clifford algebras have 5 different isomorphism classes depending on the value of p-q (mod8). We will see that a simpler result holds for K_{p,q}s: a K_{p,q} is isomorphic to either K_{p+q,0} or K_{0,p+q} depending on whether p > 0 or not. Next we will explore K_{n,0} and K_{0,n} and see that they are isomorphic to a direct sum of a bunch of real numbers or a bunch of complex numbers respectively. We will give explicit basis in K_{n,0} and K_{0,n} that make their direct sum decomposition apparent. Lastly, as an application of the results we develop in the talk, we will work out all irreducible real representations of K_{p,q}s and see that they come from irreducible complex representations of K_{p,q} as conjectured in my last talk.

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/1023158198.html

Видео семинара: https://vk.com/video-227370571_456239037

57. Инвариантность многомерного уравнения Дирака — Хестенеса относительно преобразований Лоренца

Дата семинара: 22.01.2025, 11:00

Докладчик: Румянцева София Васильевна (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада: 

В работе рассматривается инвариантность многомерного уравнения Дирака — Хестенеса относительно преобразований Лоренца, представляющих собой ортогональные преобразования координат. Многомерное уравнение Дирака — Хестенеса рассматривается в подалгебре вещественной алгебры Клиффорда Cl(1,n). В докладе проводится детальный разбор классического уравнения Дирака — Хестенеса для сигнатуры (1,3), а затем полученные результаты обобщаются на многомерный случай для сигнатуры (1,n).

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/1023158191.html

Видео семинара: https://vk.com/video-227370571_456239036

Презентация доклада: lorentz.pdf

56. More representations of commutative analogues of Clifford algebras and notion of eigenvalues in them

Дата семинара: 05.12.2024, 10:00

Докладчик: Heerak Sharma (Indian Institute of Science Education and Research (IISER), Pune, India)

Аннотация доклада: 

In my last few talks we had discussed a representation for K_{p,q}s. In this talk, we will discuss a few more representations of K_{p,q}. We will start by showing that the representation we knew for K_{p,q}s is special: it is the regular representation of the algebra K_{p,q}. Next, we will find all complex irreducible representations of K_{p,q}. To do this, we will use concepts from character theory (of representations) and group algebras. We will also look at some real irreducible representations. Next, we will see a nice factorisation for the determinant of an element of K_{p,q} introduced in my last talk. Lastly, we will define a notion of eigenvalue in K_{p,q} and show that the eigenvalues are exactly the complex irreducible representations.

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/994884338.html

Видео семинара: https://vk.com/video-227370571_456239035

55. On trace, determinant, other coefficients of characteristic polynomials in commutative analogues of Clifford algebras

Дата семинара: 09.11.2024, 10:00

Докладчик: Heerak Sharma (Indian Institute of Science Education and Research (IISER), Pune, India)

Аннотация доклада: 

In my last talk we had discussed a matrix representation of the algebras K_{p,q}. In this talk, we will use the representation of K_{p,q} to associate notions of trace, determinant and characteristic polynomial with the elements of K_{p,q}. We will then give explicit expressions, not involving the matrix representations used to define them, for the trace, determinant and coefficients in characteristic polynomial. Lastly, as an application of formula for determinant, we will give formulas for inverses of invertible elements in K_{p,q}s and show that non-invertible elements in K_{p,q} are zero divisors.

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/984846629.html

Видео семинара: https://vk.com/video-227370571_456239023

Файл статьи: https://arxiv.org/pdf/2412.20135

54. On commutative analogues of Clifford algebras

Дата семинара: 19.10.2024, 15:00

Докладчик: Heerak Sharma (Indian Institute of Science Education and Research (IISER), Pune, India)

Аннотация доклада: 

In this talk, we will introduce commutative analogues of Clifford algebras – algebras generated by generators which square to ±1 and commute with each other. First, we will see that these algebras can be decomposed as tensor products of algebras generated by a single generator. Then we will discuss matrix representation of these algebras. Lastly, we will define operations of conjugations in them and look at their first properties. We will see these algebras are drastically simpler to work with because of commutativity.

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/977389107.html

Видео семинара: https://vk.com/video-227370571_456239022

Файл статьи: https://arxiv.org/pdf/2504.19763

53. Разработка алгоритмов декомпозиции кватернионных матриц и их приложения

Дата семинара: 17.10.2024, 10:00

Докладчик: Чжан Дун (СВФУ)

Аннотация доклада: 

В этом докладе будут обсуждаться мои исследования, которые легли в основу моей кандидатской диссертации, включающие разработку быстрых алгоритмов для решения задачи сингулярной декомпозиции кватернионных матриц, а также некоторых задач по декомпозиции коммутативных кватернионных матриц и задач наименьших квадратов, с последующей интеграцией этих алгоритмов в задачи обработки сигналов и цветных изображений.

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/976341243.html

Видео семинара: https://vk.com/video-227370571_456239021

52. Fast matrix representation for Clifford algebras

Дата семинара: 08.10.2024, 16:00

Докладчик: Gleb Rumyantsev (BMSTU)

Аннотация доклада: 

In this talk, we present two fast matrix representation algorithms based on the recursive decomposition of multivectors into specific right and left ideals. We also examine the relation between these two representations. Furthermore, we derive the explicit forms of the fundamental (anti)automorphisms of these Clifford algebra representations, and the efficient methods to compute them. The algorithms have been implemented in Rust and are available as the Cargo crate clifft on Github, released under the MIT license. 

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/972205269.html

Видео семинара: https://vk.com/video-227370571_456239020

Файл статьи: https://arxiv.org/abs/2410.06103

51. О многомерном уравнении Дирака – Хестенеса в геометрических алгебрах

Дата семинара: 03.10.2024, 10:00

Докладчик: Румянцева София Васильевна (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада: 

В данной работе исследуется многомерное уравнение Дирака – Хестенеса в вещественной геометрической алгебре Cl(1,n). Известно, что классическое четырёхмерное уравнение Дирака эквивалентно уравнению Дирака – Хестенеса в геометрической алгебре Cl(1,3), что позволяет получать решения одного уравнения на основе решений другого. Важным преимуществом уравнения Дирака – Хестенеса является то, что волновая функция полностью вещественна, что способствует более глубокому пониманию геометрических аспектов задач. В работе предложено обобщение этой теории на многомерный случай. Поскольку матричное представление комплексной геометрической алгебры зависит от чётности n, случаи чётного и нечётного n анализируются отдельно. В чётном случае исследуются два типа спиноров, являющихся решениями уравнения Дирака: полуспиноры и двойные спиноры.

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/969852145.html

Видео семинара: https://vk.com/video-227370571_456239019

Материалы доклада: dirac-hestenes.pdf

50. Алгоритмы вычисления собственных значений для кватернионных матриц и их приложения

Дата семинара: 26.09.2024, 10:00

Докладчик: Го Чжэньвэй (СВФУ, Якутск)

Аннотация доклада: 

Представлены новые алгоритмы для задачи вычисления собственных значений трех классов кватернионных матриц, включая кватернионы, сплит-кватернионы и коммутативные кватернионы, и применены к решению некоторых задач обработки цветных изображений.

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/966729253.html

Видео семинара: https://vk.com/video-227370571_456239018

49. О комбинаторной алгебре Клиффорда

Дата семинара: 19.09.2024, 17:40

Место проведения: Покровский бульвар, д. 11, корп. S, ауд. S329

Докладчик: Кудряшов Сергей Андреевич (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада: 

В докладе мы познакомимся с комбинаторной алгеброй Клиффорда, определим в ней основные операции, аналогичные стандартным операциям в алгебрах Клиффорда. Будут доказаны свойства этих операций с помощью новых определений.

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/965350487.html

Видео семинара: https://youtu.be/RtzS8nU98DY

48. Класс полевых уравнений для нейтрино и других частиц спина 1/2

Дата семинара: 12.09.2024, 10:00

Докладчик: Марчук Николай Гурьевич (МИАН и НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада: 

Вводится новое уравнение (класс уравнений), которое рассматривается в качестве кандидата на уравнение для нейтрино с ненулевой массой.

Фото семинара: https://economics.hse.ru/gaa/news/961676417.html

Видео семинара: https://vk.com/video-227370571_456239017

47. От комплексного анализа к кватернионному анализу

Дата семинара: 13.06.2024, 16:30

Место проведения: Покровский бульвар, д. 11, корп. S, ауд. S322

Докладчик: Х.М. Орелма (Финляндия)

Аннотация доклада:

Сначала мы рассмотрим комплексный анализ, в частности, определение аналитических функций. Аналогичным образом определим соответствующий класс функций в алгебре кватернионов. Этот класс называется классом моногенных функций. Рассмотрим моногенные функции в пространствах R^3 и R^4. Наконец, распространим понятие моногенных функций на алгебры Клиффорда.

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/932725814.html

Видео семинара: https://youtu.be/zmoZefzQsGc

46. Линейная алгебра в экономических задачах на примере модели межотраслевого баланса Леонтьева

Дата семинара: 23.04.2024, 14:40

Место проведения: Покровский бульвар, д. 11, корп. G, ауд. G118

Докладчик:  Юдина Ангелина Вячеславовна (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада:

В докладе рассматривается задача о нахождении объема выпуска, обеспечивающего заданный суммарный спрос на товары и услуги при известной линейной технологии производства. Задача решается с помощью статической модели Леонтьева. В докладе перечисляются условия получения экономически обоснованных решений поставленной задачи. Отдельное внимание уделено описанию способа нахождения таких решений с помощью теоремы Перрона-Фробениуса.

Презентация доклада: Модель_Леонтьева.pdf

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/917190045.html

45. Крестовая аппроксимация тензоров и алгебры Клиффорда

Дата семинара: 06.04.2024, 16:00

Место проведения: Покровский бульвар, д. 11, корп. G, ауд. G110

Докладчик: Филимошина Екатерина Романовна (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада:

В докладе обсуждаются методы скелетного разложения и крестовой аппроксимации матриц и тензоров. Крестовая аппроксимация матрицы (тензора) по определению строится на основе выбора строк и столбцов матрицы (срезов тензора). В докладе рассматриваются классические методы выбора строк и столбцов (срезов). Для тензоров третьего порядка предлагается новый метод выбора срезов с использованием сингулярного разложения матриц с элементами из алгебры Клиффорда. Приводятся эксперименты применения различных методов крестовой аппроксимации тензоров к задаче восстановления изображений.

Презентация доклада: cur.pdf

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/912282213.html

44. О градуированном автоморфизме и унитарных группах Ли в тернарных алгебрах Клиффорда

Дата семинара: 14.03.2024, 19:10

Докладчик: Широков Дмитрий Сергеевич (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада:

В докладе обсуждается операция эрмитова сопряжения в тернарных алгебрах Клиффорда и группа SU(3), важная для физических приложений. Представлен явный базис соответствующей алгебры Ли su(3). Рассмотрен градуированный автоморфизм в тернарных алгебрах Клиффорда и доказан ряд его свойств.

Презентация доклада: ternary.pdf

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/905379262.html

43. О связи между мультивекторным дифференцированием и свертками в геометрических алгебрах

Дата семинара: 09.03.2024, 13:00

Место проведения: Покровский бульвар, д. 11, корп. G, ауд. G408

Докладчик: Петяева Елизавета Николаевна (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада:

В докладе обсуждаются метод мультивекторного дифференцирования в геометрических алгебрах и метод усреднения из теории представлений конечных групп. Представлена связь между свертками и дифференцированием функции F(X)=X в ортонормированном базисе.

Презентация доклада: seminar_simplicial_derivative.pdf

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/903945131.html

42. Алгоритмы матричного разложения двух типов кватернионов и их приложения

Дата семинара: 05.03.2024, 10:00

Докладчик: Ван Ган (Северо-Восточный федеральный университет)

Аннотация доклада:    Аннотация.pdf,  Abstract.pdf

Видео семинара: https://youtu.be/bDb1H_9A_Bs

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/902543203.html

41. О применении алгебр Клиффорда для построения эквивариантных нейронных сетей (продолжение)

Дата семинара: 24.02.2024, 14:15

Докладчик: Филимошина Екатерина Романовна (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада: 

Данный доклад является продолжением доклада, представленного на предыдущем семинаре НУГ.

Презентация доклада: Clifford_Group_NN.pdf

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/899534922.html

40. О применении алгебр Клиффорда для построения эквивариантных нейронных сетей

Дата семинара: 16.02.2024, 19:00

Докладчик: Филимошина Екатерина Романовна (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада: 

В докладе рассматривается недавняя статья о нейронных сетях, эквивариантных по отношению к действию групп Липшица (Ruhe D., Brandstetter J., Forré P.: Clifford Group Equivariant Neural Networks). Доказывается эквивариантность этих нейронных сетей по отношению к действию псевдоортогональных групп. Рассматриваются отображения, эквивариантные по отношению к действию групп Липшица, и обсуждается методология построения нейронных сетей на основе этих отображений. Также в докладе предлагаются идеи обобщения данных нейронных сетей на случай других групп, содержащих группу Липшица в качестве подгруппы.

Презентация доклада: Clifford_Group_NN.pdf

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/897282201.html

39. Класс полевых уравнений (продолжение)

Дата семинара: 08.02.2024, 14:20

Докладчик: Марчук Николай Гурьевич (МИАН и НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада: 

Данный доклад является продолжением доклада, представленного на предыдущем семинаре НУГ.

Видео семинара: https://youtu.be/yAyHyPm1DFA

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/895103909.html

38. Класс полевых уравнений

Дата семинара: 23.01.2024, 11:00

Докладчик: Марчук Николай Гурьевич (МИАН и НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада: 

С помощью техники кватернионов и матриц второго порядка вводится класс уравнений, связанных с уравнением Дирака.

Видео семинара: https://youtu.be/VZhOh1T4jFM

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/890500490.html

Доклады 2022–2023 гг.

Доклады 2021 г.