«Кватернионы, геометрические алгебры и приложения»,

Докладчик: Перельман Карлос Кастро (Багамский институт перспективных научных исследований и конференций, Лонг-Айленд, Багамские Острова; Исследовательский центр квантовой гравитации, Лос-Анджелес, США)

Аннотация: Показано, как обобщённые алгебры Клиффорда позволяют построить N-й корень из линейных дифференциальных уравнений N-го порядка, описывающих безмассовые и массивные частицы. После факторизации и циклической перестановки множителей уравнение N-го порядка оказывается эквивалентно N уравнениям первого порядка. Находятся явные решения. В заключение исследуются обобщённое уравнение Дирака и калибровочные теории в обобщённых клиффордовых пространствах.

Докладчик: Марчук Николай Гурьевич (МИАН; НИУ ВШЭ, Москва, Россия)

Аннотация: уточняется.

Докладчик: Румянцева София Васильевна (НИУ ВШЭ, Москва, Россия)

Аннотация: В докладе будет представлено многомерное уравнение Дирака – Хестенеса — вещественный аналог уравнения Дирака, сформулированный в геометрической алгебре Cl(1,n), и рассмотрены его фундаментальные свойства. Известно, что классическое четырёхмерное уравнение Дирака эквивалентно уравнению Дирака – Хестенеса в геометрической алгебре Cl(1,3). Это означает, что решение уравнения Дирака – Хестенеса может быть получено из решения уравнения Дирака, и наоборот. Уравнение Дирака – Хестенеса позволяет глубже понять геометрическую природу различных задач, поскольку рассматриваемая волновая функция является полностью вещественной. Мы покажем, что теория обобщается на многомерный случай. Поскольку матричное представление комплексной геометрической алгебры зависит от чётности размерности n, случаи чётного и нечётного n анализируются отдельно. В чётномерном случае существуют два типа спиноров, являющихся решениями уравнения Дирака: полуспиноры и двойные спиноры. Кроме того, мы продемонстрируем, что многомерное уравнение Дирака – Хестенеса обладает как калибровочной, так и лоренцевой инвариантностью.

Докладчик: Амао Педро (Папский католический университет Перу, Лима, Перу)

Аннотация: Мы заново исследуем тему двухуровневых квантовых систем, используя трёхмерную алгебру Клиффорда Cl₃. В данной формулировке как квантовые состояния, так и операторы полностью выражаются элементами Cl₃ благодаря изоморфизму между алгеброй комплексных матриц 2×2 (алгеброй Паули) и Cl₃. Подход на основе алгебры Клиффорда позволяет раскрыть внутреннюю геометрическую структуру этих квантовых систем.

Докладчик: Чжаоюань Юй (Нанкинский педагогический университет, Нанкин, Китай)

Аннотация: В данном докладе предлагается новый подход к геопространственному анализу через формальную структуру «географического языка», в центре которого находится геометрическая алгебра как математическая основа. Выведенная из трёхчастной онтологии (Природный, Человеческий, Информационный миры), эта структура раскладывает пространственно-временные явления на «периодическую таблицу 7×7» (7 элементов × 7 измерений), преобразуя неструктурированные данные в машиночитаемое знание. Данный подход позволяет бесшовно переводить географическую семантику в вычисления на основе геометрической алгебры, снабжая системы искусственного интеллекта (например, большие языковые модели) семантическим каркасом для автоматизированного логического вывода. Эта работа закладывает основы науки о геопространственном интеллекте, продвигаясь от вопроса «где» к объяснению «почему», и демонстрирует практические приложения в области умных городов, управления окружающей средой и устойчивого развития.

Докладчик: Филимошина Екатерина Романовна (НИУ ВШЭ, Москва, Россия)

Аннотация: В данном докладе геометрические алгебры рассматриваются как фундаментальная математическая основа для построения нейронных сетей, эквивариантных относительно любых псевдоортогональных преобразований — включая вращения и отражения. Ключевым элементом данного подхода является установление фундаментальной связи между псевдоортогональными матричными группами и группами Липшица в рамках геометрических алгебр. Мы представим обоснование подхода, продемонстрируем современные эквивариантные модели на основе геометрических алгебр, изложим собственные результаты по данной теме и обсудим открытые вопросы.

Докладчик: Го Чжэньвэй (Университет Ляочэн, Ляочэн, Китай; СВФУ, Якутск, Россия)

Аннотация: В данном докладе исследуется проблема собственных значений для приведённых бикватернионных матриц с использованием их комплексных представлений. Предложены конструктивные алгебраические алгоритмы для вычисления собственных значений и векторов, решающие проблемы, вызванные наличием делителей нуля в алгебре приведённых бикватернионов. Исследование показывает, что такие матрицы обладают бесконечным множеством собственных значений, при этом различным собственным значениям может соответствовать один и тот же собственный вектор.

Докладчик: Шарма Хирак (Индийский институт научного образования и исследований, Пуна, Индия)

Аннотация: В данном докладе мы представим коммутативные аналоги алгебр Клиффорда — алгебры, определяемые таким же образом, как и алгебры Клиффорда, но с тем отличием, что их образующие коммутируют, а не антикоммутируют. Мы покажем, что эти алгебры образуют два «класса изоморфизма» — любой коммутативный аналог алгебры Клиффорда изоморфен либо мультикомплексным числам, либо «мульти-сплит-комплексным числам». Мы обсудим тензорное разложение, разложение на прямые суммы, а также представления этих алгебр. В завершение мы приведём явные формулы для обратного элемента в этих алгебрах.