Алгебра и геометрия

2019/2020

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

6

Кредиты

Кто читает:

Департамент математики

Статус:

Курс обязательный

Когда читается:

1-й курс, 1, 2 модуль

Преподаватели

Базенков Николай Ильич

Горелов Алексей Анатольевич

Горяйнов Виктор Александрович

Коданева Надежда Михайловна

Субботин Валентин Валерьевич

Швыдун Сергей Владимирович

Широков Дмитрий Сергеевич

Шуклин Георгий Аркадьевич

Программа дисциплины

Аннотация

Курс "Алгебра и геометрия", читаемый на 1 курсе бакалаврской программы "Бизнес-информатика", знакомит студентов с основами линейной алгебры, аналитической геометрии и общей алгебры. Целью освоения дисциплины является формирование у студентов навыков использования методов линейной и общей алгебры для решения прикладных, в том числе экономических и геометрических, задач. Полученные знания потребуются студентам для освоения многих других теоретических и прикладных дисциплин, в которых используются векторные, матричные и операторные обозначения.

Цель освоения дисциплины

• ознакомление студентов с основами линейной алгебры, аналитической геометрии и общей алгебры
• формирование у студентов навыков использования методов линейной алгебры для формализации и решения прикладных задач, в том числе экономических и геометрических

Планируемые результаты обучения

• решать системы 2 и 3 порядка методом Крамера
• производить основные операции с векторами
• решать основные задачи на расстояния, углы, площади, объемы в координатах
• решать задачи на точки и прямые на плоскости
• решать задачи на точки, прямые и плоскости в пространстве
• приводить кривую второго порядка к каноническому виду
• производить основные операции с матрицами
• вычислять определитель произвольной квадратной матрицы, вычислять обратную матрицу, решать матричные уравнения
• вычислять ранг матрицы, решать системы линейных алгебраических уравнений
• формулировать основные понятия, связанные с линейными пространствами
• производить основные операции с комплексными числами
• формулировать основные понятия, связанные с линейными операторами, билинейными и квадратичными формами
• применять метод ортогонализации Грама-Шмидта, вычислять ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора
• приводить матрицу самосопряженного оператора к диагональному виду

Содержание учебной дисциплины

• Некоторые сведения из теории определителей и систем линейных уравнений
  Определители матриц второго и третьего порядка. Примеры. Системы линейных уравнений (2 уравнения и 2 неизвестных, 3 уравнения и 3 неизвестных). Метод Крамера для систем с двумя и тремя неизвестными.
• Векторная алгебра
  Линейные операции с векторами и их свойства. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, вычисление в координатах. Свойства рассматриваемых операций над векторами.
• Системы координат и простейшие задачи, решаемые с использованием векторной алгебры
  Декартова (аффинная) системы координат. Координаты точек плоскости (пространства). Деление отрезка в заданном соотношении. Вычисление площадей треугольника и параллелограмма. Вычисление объема параллелепипеда и треугольной пирамиды.
• Прямая линия на плоскости
  Различные виды уравнений прямой. Вычисление угла между прямыми, определение взаимного расположения двух прямых, условия параллельности и перпендикулярности, определение взаимного расположения точек относительно прямой, вычисление расстояния от точки до прямой, вывод уравнений биссектрис угла.
• Прямая и плоскость в пространстве
  Различные виды уравнений плоскости. Вычисление расстояния от точки до плоскости, нахождение угла между плоскостями, исследование взаимного расположения плоскостей, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Различные уравнения прямой в пространстве. Вычисление угла между прямыми, нахождение угла между прямой и плоскостью, исследование взаимного расположения прямых, а также прямой и плоскости.
• Кривые второго порядка
  Эллипс, гипербола, парабола. Вывод их уравнений и описание простейших свойств. Упрощение уравнений кривых второго порядка.
• Алгебра матриц
  Матрицы, операции с матрицами и их свойства. Элементарные преобразования строк матрицы, эквивалентные матрицы. Ступенчатый вид матрицы.
• Определители. Обратные матрицы.
  Перестановки, инверсии в перестановках, четность перестановок. Подстановки. Определитель матрицы. Свойства определителей. Миноры, алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки и столбца. Определитель произведения двух матриц. Обратные матрицы. Критерий обратимости матриц. Формула для вычисления обратной матрицы. Нахождение обратной матрицы с использованием элементарных преобразований.
• Матрицы и системы линейных алгебраических уравнений
  Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы. Теорема о базисном миноре. Ранг произведения матриц. Однородные и неоднородные системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Метод Крамера для решения квадратных систем линейных уравнений. Матричные уравнения.
• Линейные пространства
  Линейные (векторные) пространства. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Линейная оболочка системы векторов. Нахождение ее базиса с использованием ступенчатой матрицы. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора относительно базиса. Изменение координат вектора при изменении базиса. Матрица перехода от «старого» базиса к «новому». Подпространства линейных пространств и их базисы. Свойства линейно независимых систем векторов в подпространстве. Размерность линейной оболочки конечной системы векторов. Подпространство решений однородной системы линейных уравнений, его базис и размерность. Фундаментальная система решений и общее решение однородной системы линейных уравнений. Связь между решениями неоднородной и соответствующей однородной систем. Векторная форма записи решений.
• Поле комплексных чисел
  Поле комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексного числа. Модуль и аргумент. Операции над комплексными числами. Формула Муавра. Формула Эйлера. Показательная форма записи. Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа. Геометрические свойства корней из комплексного числа. Решение квадратных уравнений.
• Линейные операторы. Билинейные и квадратичные формы
  Линейные операторы и их матрицы. Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса. Подобие матриц. Образ и ядро линейного оператора. Операции над линейными операторами. Собственные значения, собственные векторы линейных операторов. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Билинейные и квадратичные формы. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм. Положительно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.
• Введение
  Предмет курса. Принципы построения и изучения курса. Краткое содержание. Рекомендации по изучению курса, самостоятельной работе и литературе. О формах контроля и отчетности при изучении курса
• Евклидовы пространства
  Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского, длины векторов и углы между векторами. Матрица Грама. Ортонормированный базис, процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Ортогональные матрицы. Переход от одного ортонормированного базиса к другому. Ортогональное дополнение линейного подпространства в евклидовом пространстве. Ортогональная проекция вектора на подпространство.
• Линейные операторы в евклидовых пространствах
  Самосопряженные операторы. Свойства собственных векторов и собственных значений. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора в евклидовом пространстве. Ортогональные преобразования. Приведение квадратичной формы к главным осям с помощью ортогональной замены переменных.

Элементы контроля

• контрольная работа 1
• контрольная работа 2
• контрольное домашнее задание
• аудиторная работа
• письменный экзамен

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (2 модуль)
  0.04 * аудиторная работа + 0.14 * контрольная работа 1 + 0.14 * контрольная работа 2 + 0.08 * контрольное домашнее задание + 0.6 * письменный экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Бурмистрова Е. Б., Лобанов С. Г. - ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебник и практикум для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 421с. - ISBN: 978-5-9916-3588-2 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/lineynaya-algebra-425852
• Проскуряков И.В. - Сборник задач по линейной алгебре: учебное пособие - Издательство "Лань" - 2019 - 476с. - ISBN: 978-5-8114-4044-3 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/114701

Рекомендуемая дополнительная литература

• Fuad Aleskerov, Hasan Ersel, & Dmitri Piontkovski. (2011). Linear Algebra for Economists. Springer. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsrep&AN=edsrep.b.spr.sptbec.978.3.642.20570.5
• Геворкян П.С. - Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия - Издательство "Физматлит" - 2011 - 208с. - ISBN: 978-5-9221-0860-7 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/48192
• Ильин В.А., Позняк Э.Г. - Аналитическая геометрия - Издательство "Физматлит" - 2009 - 224с. - ISBN: 978-5-9221-0511-8 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/2179
• Ильин В.А., Позняк Э.Г. - Линейная алгебра. - Издательство "Физматлит" - 2007 - 280с. - ISBN: 978-5-9221-0481-4 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/2178
• Шафаревич, И. Р. Линейная алгебра и геометрия [Электронный ресурс] / И. Р. Шафаревич, А. О. Ремизов. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 512 с. - ISBN 978-5-9221-1139-3.