Probability Theory and Statistics

2020/2021

Academic Year

RUS

Instruction in Russian

10

ECTS credits

Delivered by:

Department of Applied Economics

Type:

Compulsory course

When:

2 year, 1-4 module

Instructors

Borzykh, Dmitriy

Demeshev, Boris

Zekhov, Matvei S.

Kossova, Elena V.

Pilnik, Nikolay

Potanin, Bogdan

Stankevich, Ivan

Yazykov, Artem

Программа дисциплины

Аннотация

Курс Теория вероятности и Статистика предназначен для студентов бакалавриата направления 38.03.01 Экономика, прослушавших курсы линейной алгебры и математического анализа. В курсе рассматриваются основные понятия теории вероятностей и математической статистики, основные законы распределения случайных величин, методы оценивания неизвестных параметров распределений, основы проверки статистических гипотез. В ходе курса студенты учатся применять простейшие вероятностные модели, делать статистически обоснованные выводы, обрабатывать статистические данные с помощью современных пакетов программ для анализа данных на ПЭВМ.

Цель освоения дисциплины

• Целями дисциплины «Теория вероятностей и статистика» являются овладение студентами навыками применения стандартных методов и моделей к решению вероятностных и статистических задач, обрабатывания статистической информации и получения статистически обоснованных выводов.

Планируемые результаты обучения

• Знание основных понятий теории вероятностей, умение находить вероятности событий, описываемых изученными случайными экспериментами
• Знание изученных дискретных и непрерывных вероятностных моделей и умение находить вероятности различных событий в рамках этих моделей.
• Знание изученных определений, умение вычислять характеристики распределений случайных величин и векторов при заданном законе распределения, находить математическое ожидание и ковариационную матрицу при преобразовании случайных векторов.
• Знание изученных распределений и их свойств, умение пользоваться статистическими таблицами
• Умение вычислять и интерпретировать характеристики выборки
• Умение использовать непараметрические критерии для проверки статистических гипотез
• Умение применять и интерпретировать дисперсионный анализ
• Знание предельных теорем теории вероятностей
• Умение вычислять вероятности с помощью центральной предельной теоремы, неравенств Чебышёва и Маркова
• Знание статистических свойств оценок параметров распределений
• Умение находить оценки неизвестных параметров распределений
• Умение строить доверительные интервалы для неизвестных параметров распределений
• Умение проверять статистические гипотезы
• Понимание принципов Байесовского подхода и умение решать простейшие задачи Байесовского оценивания

Содержание учебной дисциплины

• Тема 1. Вероятности событий
  Вероятностная модель эксперимента с конечным числом исходов. События. Основные правила действий с событиями и их вероятностями. Независимость событий. Условная вероятность. Формула полной веро-ятности. Формула Байеса. Схема испытаний Бернулли. Теорема Пуассона о прибли-женной формуле для вероятно-сти получения k успехов в n не-зависимых испытаниях.
• Тема 2. Случайные величины и случайные векторы
  Вероятностная модель эксперимента с бесконечным числом исходов. Понятие об аксиоматике Колмогорова. Случайные величины. Функция распределения случайной величины и ее основные свойства. Дискретные и абсолютно непрерывные распределения. Функция плотности. Основные дискретные распре-деления: биномиальное, Пуассона, гипергеометрическое, отрицательное биномиальное. Примеры непрерывных распре-делений. Понятие о случайном векторе. Совместное распределение нескольких случайных величин. Независимость случайных величин. Маргинальные распределения. Условное распределение. Многомерное нормальное распределение и его свойства
• Тема 3. Характеристики распределений случайных величин и случайных векторов.
  Математическое ожидание и дисперсия случайной величины и их свойства. Преобразования случайных величин, их распределения и характеристики. Математическое ожидание и ковариационная матрица случайного вектора. Коэффициент корреляции. Условное распределение и условное математическое ожидание.
• Тема 4. Предельные теоремы
  Неравенство Маркова. Неравенство Чебышёва. Виды сходимости последовательностей случайных величин. Закон Больших чисел. Центральная предельная теорема
• Тема 5. Некоторые одномерные распределения, используемые в математической статистике
  Определение и свойства Хи-квадрат распределения, распре-деления Стьюдента и Фишера. Их основные свойства. Работа с таблицами распределений.
• Тема 6. Основные понятия статистики
  Задачи статистики. Понятия генеральной совокупности и выборки. Репрезентативность выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон частот и гистограмма. Выборочные моменты и квантили. Выборочный коэффициент корреляции. Асимптотическое поведение выборочных моментов. Стратифицированная случайная выборка. Стратифицированное выборочное среднее. Дисперсия выборочного среднего при оптимальном и при пропорциональном размещении.
• Тема 7. Статистическое оценивание неизвестных параметров распределений
  Точечные оценки. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность. Метод моментов и метод наибольшего правдоподобия. Оценка параметров биномиального, нормального и равномерного распределений. Информация Фишера. Неравенство Рао-Крамера-Фреше.
• Тема 8. Доверительные интервалы
  Понятие о доверительных интервалах и принципах их построения. Доверительные интервалы для среднего при известной и неизвестной дисперсии. Доверительные интервалы для пропорции. Доверительные интервалы для дисперсии. Доверительные интервалы для разности двух средних Асимптотические доверительные интервалы для параметров функции правдоподобия. Дельта-метод.
• Тема 9. Статистическая проверка гипотез
  Проверка гипотез. Простые и сложные гипотезы. Критерий выбора между основной и альтернативной гипотезами. Уровень значимости. Ошибки первого и второго рода. Мощность критерия. Наиболее мощный критерий. Проверка гипотез и доверительное оценивание. Параметрические гипотезы. Проверка гипотез о математическом ожидании, пропорции и дисперсии. Проверка гипотез о разности двух средних, разности двух пропорций. Проверка гипотез о равенстве двух дисперсий нормальных распределений. Лемма Неймана-Пирсона. Критерий отношения правдоподобия. Критерии согласия: Критерий Пирсона хи-квадрат. Критерий согласия Колмогорова. Проверка гипотезы о независимости признаков. Проверка гипотезы об однородности данных.
• Тема 10. Непараметрические критерии
  Непараметрические критерии. Критерий знаков. Критерии Вилкоксона, Манна-Уитни. Коэффициент корреляции Спирмена.
• Тема 12. Введение в Байесовские методы
  Байесовский подход к оцениванию параметров и прогнозированию. Априорное и апостериорное распределение. Сопряжённые распределения. Байесовские интервалы. Монте Карло по схеме марковской цепи. Алгоритм Гиббса. Алгоритм Метрополиса-Гастингса. Байесовские аналоги классических тестов.
• Тема 11. Дисперсионный анализ
  Однофакторный и многофакторный дисперсионный анализ

Элементы контроля

• контрольная работа 1
  контрольные работы для пропустивших их по уважительной причине проводятся в день экзамена
• контрольная работа 2
  см. комментарий к к.р.1
• экзамен 1
  Промежуточный экзамен в сессию 2-го модуля. Экзамен проводится в дистанционном формате
• контрольная работа 3
  см. комментарии к к.р. 1
• контрольная работа 4
  см. комментарии к к.р.1
• домашнее задание
  содержание и форма домашнего задания определяются преподавателем, ведущим семинары
• экзамен 2
  Студенты, обучающиеся дистанционно, получают задание и сдают работу в системе ЛМС. Устная часть проходит на платформе zoom.
• аудиторная активность 1
• аудиторная активность 2
  Включает активность на семинарах и лекциях, решение обязательных и дополнительных задач, выход к доске и т.д.

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (2 модуль)
  0.275*Контрольная работа1+0.275*Контрольная работа2+0.15*Аудиторная активность+0.3*Экзамен
• Промежуточная аттестация (4 модуль)
  0.5*Промежуточная аттестация (2 модуль) +0.5*(0.275*Контрольная работа3+0.275*Контрольная работа4+0.1*Домашнее задание+0.05*Аудиторная активность+0.3*Экзамен)

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Теория вероятностей и математическая статистика - 2 (промежуточный уровень) : учеб. пособие, Шведов, А. С., 2007
• Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для вузов, Шведов, А. С., 2005

Рекомендуемая дополнительная литература

• Jaynes, E. T., & Bretthorst, G. L. (2003). Probability Theory : The Logic of Science. Cambridge, UK: Cambridge University Press. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=120310
• Reviewed William, G. Faris, E. T. Jaynes, & Edited G. Larry Bretthorst. (n.d.). Probability Theory: The Logic of Science. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsbas&AN=edsbas.209D9D8C