Probability Theory and Statistics

2020/2021

Academic Year

RUS

Instruction in Russian

4

ECTS credits

Delivered by:

Department of Applied Economics

Type:

Compulsory course

When:

2 year, 1-3 module

Instructors

Pogorelova, Polina

Shvedov, Alexey S.

Yazykov, Artem

Программа дисциплины

Аннотация

Дисциплина «Теория вероятностей и статистика» направлена на ознакомление студентов с основными концепциями теории вероятностей и статистики; раскрытие роли вероятностно-статистического инструментария в экономических и политологических исследованиях; изучение таких понятий, как события и вероятности их осуществления, случайные величины и их распределения, теорем теории вероятностей; изучение основ статистического описания данных, постановок и методов решения задач математической статистики: оценивание, проверка гипотез.

Цель освоения дисциплины

• Формирование представления о базовых понятиях и концепциях теории вероятностей и статистики
• Формирование умения показывать знание и понимание определений, теорем и методов решения задач по дисциплине
• Развитие навыков работы с абстрактными математическими понятиями
• Ознакомление с областями практического приложения вероятностных моделей
• Формирование умения анализировать статистические данные и результаты расчетов, в том числе, для последующего прогнозирования и выработки решений экономического характера, делать статистически обоснованные выводы, содержательно интерпретировать полученные результаты, умения собирать статистические данные
• Формирование умения выбирать наиболее подходящую вероятностную модель или наиболее подходящий метод математической статистики для решения конкретной прикладной задачи
• Формирование умения строить вероятностные и статистические модели
• Развитие навыков самостоятельной работы и нахождения дополнительной информации в данной предметной области
• Подготовка к изучению эконометрики и ряда других дисциплин, использованию статистических и эконометрических компьютерных программ для решения прикладных экономических задач

Планируемые результаты обучения

• Интерпретирует для дискретных случайных величин методы расчета функций распределения, квантильных функций и моментов. Дает определение пуассоновского потока событий, объясняет связь с распределением Пуассона.
• Анализирует задачи, решаемые при помощи биномиального распределения. Обосновывает необходимость приближенных формул Муавра – Лапласа и Пуассона. Приводит примеры других дискретных распределений вероятностей, связанных с комбинаторными задачами.
• Интерпретирует для непрерывных случайных величин методы расчета функций распределения, квантильных функций и моментов. Строит и анализирует функции плотности. Приводит примеры наиболее распространенных непрерывных распределений вероятностей.
• Решает задачи, связанные с совместными функциями распределения нескольких случайных величин. Рассчитывает ковариации и корреляции случайных величин.
• Решает задачи на применение закона больших чисел, неравенства Маркова, неравенства Чебышева. Использует центральную предельную теорему при решении конкретных экономических задач.
• Формулирует понятия простой случайной выборки, стратифицированной случайной выборки. Рассчитывает выборочное среднее, выборочную дисперсию.
• Вычисляет основные характеристики, связанные с распределениями вероятностей Пирсона, Стьюдента, Фишера.
• Исследует статистические оценки на несмещенность, состоятельность, эффективность. Применяет метод моментов и метод максимального правдоподобия для построения статистических оценок.
• Рассчитывает доверительные интервалы для параметров распределений. Дает примеры экономических приложений.
• Анализирует методологию проверки статистических гипотез применительно к конкретным прикладным задачам. Рассчитывает значения статистик и критические области, делает выводы о принятии или непринятии гипотез. Строит эмпирические функции распределения для статистических данных.
• Применяет непараметрические критерии для проверки гипотез.
• Строит вероятностные модели типа «цепь Маркова» для соответствующих прикладных задач. Анализирует свойства этих моделей.
• Исследует решающие правила, являются ли они допустимыми, минимаксными, байесовскими. Применяет методологию последовательного статистического анализа, в том числе, для задач с экономическим содержанием.

Содержание учебной дисциплины

• Основные понятия теории вероятностей
  Пространство элементарных событий, событие, случайная величина. Независимость событий. Независимость случайных величин. Функция распределения и квантильная функция случайной величины. Числовые характеристики случайных величин: ожидание, дисперсия, стандартное отклонение. Моменты и центральные моменты случайных величин. Условные вероятности. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Примеры использования формулы Байеса для учета экспертных оценок.
• Дискретные случайные величины: функция распределения, дискретная функция плотности, основные числовые характеристики
  Вид функции распределения, формулы для числовых характеристик случайных величин. Распределение Пуассона. Пуассоновский поток событий.
• Элементы комбинаторики
  Схема испытаний Бернулли. Биномиальное распределение. Приближенные формулы Муавра – Лапласа. Приближенная формула Пуассона. Геометрическое, отрицательное биномиальное, гипергеометрическое распределения.
• Непрерывные случайные величины: функция распределения, функция плотности, основные числовые характеристики
  Вид функции распределения, функция плотности. Квантили и мода. Формулы для числовых характеристик случайных величин. Равномерное распределение. Нормальное распределение, его особая роль в математической статистике. Бета-распределение, гамма-распределение, логарифмически нормальное распределение. Экспоненциальное распределение и его связь с пуассоновским потоком событий. Анализ простейшей системы массового обслуживания.
• Двумерные и многомерные случайные величины
  Совместная функция распределения нескольких случайных величин. Маргинальные распределения. Условные распределения. Совместное дискретное распределение. Совместное непрерывное распределение. Ковариация и корреляция двух случайных величин. Двумерное нормальное распределение.
• Предельные теоремы теории вероятностей
  Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Формулировка центральной предельной теоремы, примеры и пояснения к ней.
• Основные понятия математической статистики, исследование выборками
  Генеральная совокупность, выборка. Точность результатов при проведении выборочных исследований. Простая случайная выборка. Прием, применяемый в математической статистике: набору из n наблюдений ставится в соответствие набор из n случайных величин. Выборочное среднее, его ожидание и дисперсия (в том числе с учетом поправки на конечный размер генеральной совокупности). Выборочная дисперсия. Стратифицированная случайная выборка.
• Некоторые распределения вероятностей, основанные на нормальном распределении (Пирсона, Стьюдента, Фишера)
  Вид функций плотности для хи-квадрат распределения, t-распределения, F-распределения. Определение квантилей, использование статистических таблиц.
• Статистические оценки параметров распределений
  Сопоставление исследований выборками и оценок параметров распределений. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность. Методы построения оценок: метод моментов и метод максимального правдоподобия.
• Доверительные интервалы для параметров распределений
  Доверительные интервалы для ожидания при известной и неизвестной дисперсии. Доверительные интервалы для пропорции. Доверительные интервалы для разности двух ожиданий и разности двух пропорций. Доверительные интервалы для дисперсии. Байесовские доверительные интервалы. Доверительное множество для векторного параметра.
• Проверка статистических гипотез
  Простые и сложные гипотезы. Критерий выбора между основной и альтернативной гипотезами. Уровень значимости. Мощность критерия. Ошибки первого и второго рода. Тесты на нормальность. Эмпирическая функция распределения и тест Колмогорова – Смирнова. Двойственность проверки гипотез и построения доверительных интервалов. Хи-квадрат критерии для проверки гипотез о независимости признаков и гипотез о соответствии наблюдений предполагаемому распределению вероятностей. Однофакторный и двухфакторный дисперсионный анализ.
• Непараметрические критерии для проверки некоторых статистических гипотез
  Ранговые корреляции. Коэффициенты Кендалла и Спирмена. Критерий суммы рангов Вилкоксона для проверки однородности выборок. Статистика Манна – Уитни. Критерий знаков.
• Цепи Маркова
  Цепи Маркова с дискретным временем и с дискретными значениями. Матрица переходных вероятностей. Примеры для управления запасами и для систем массового обслуживания. Свойство эргодичности для цепей Маркова.
• Элементы теории статистических решений
  Функция потерь для заданного множества состояний среды и заданного множества решений. Решающие правила в задачах, где о неизвестном состоянии среды можно сделать некоторые выводы вероятностного характера на основе имеющейся статистической информации. Допустимые, минимаксные, байесовские решающие правила. Проверка статистических гипотез и оценка параметров как примеры статистических решений. Последовательный анализ (с определением оптимального размера выборки в процессе наблюдений).

Элементы контроля

• Экзамен
  Экзамен проводится в очной форме.
• Контрольная работа 1
• Контрольная работа 2
• Домашнее задание
• Активность на семинаре
• Самостоятельная работа

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (3 модуль)
  0.15 * Активность на семинаре + 0.1 * Домашнее задание + 0.25 * Контрольная работа 1 + 0.25 * Контрольная работа 2 + 0.25 * Экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Statistics for business and economics, Newbold, P., 2013
• Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для вузов, Шведов, А. С., 2005

Рекомендуемая дополнительная литература

• Анализ данных в MS Excel : основные сведения о MS Excel, статистические таблицы и графики, статистические функции, пакет анализа (анализ данных) : учеб. пособие для вузов, Мхитарян, В. С., 2018
• Прикладная статистика. Основы эконометрики. Т.1: Теория вероятностей и прикладная статистика, Айвазян, С. А., 2001
• Теория вероятностей и математическая статистика - 2 (промежуточный уровень) : учеб. пособие, Шведов, А. С., 2007
• Теория вероятностей и математическая статистика : учебник для вузов, Кремер, Н. Ш., 2004
• Теория вероятностей и математическая статистика в задачах : более 360 задач и упражнений, Борзых, Д. А., 2016