Модель ARIMA

Модель авторегрессии порядка \(p\) описывается как \[AR(p) : y_t = c + \phi_1y_{(t-1)}+\phi_2y_{(t-2)} + \dots+ \phi_py_{(y-p)} + \varepsilon_t \] и показывает зависимость значения нынешнего периода от прошлых значений p-периодов.

Модель скользящего среднего порядка \(q\) описывается как \[MA(q): y_t = c +\varepsilon_t + \theta_1\varepsilon_{(t-1)}+\theta_2\varepsilon_{(t-2)} + \dots + \theta_q\varepsilon_{(t-q)}\] и показывает зависимость значения нынешнего периода от ошибок предсказания предыдущих \(q\) периодов.

Модель авторегрессии с интегрированием и скользящим средним порядков \((p, d, q)\) является суммой \(AR(p)\) и \(MA(q)\) моделей и может быть представлена в виде \[ARIMA(p, d, q): (1 - \phi_1L - \dots - \phi_pL^p)((1 – L)^dy_t-\mu) = (1 + \theta_1L+ \dots + \theta_qL^q)\varepsilon_t,\] где \(d\) – количество дифференцирований исходного временного ряда до достижения его стационарности, а \(L\) – величина лага.

Для выделения сезонности можно использовать модификацию базовой модели \(ARIMA(p,d,q)-SARIMA(P, D, Q)_m\), где \(m\) – количество измерений в году, \(P, D, Q\) – порядки сезонной авторегрессии, сезонного интегрирования и сезонного скользящего среднего соответственно.

Соответственно, модель \(ARIMA(1,0,1)-SARIMA(1,0,1)_4\) для квартальных изменений имеет вид: \[(1 - \phi_1L)(1 - \Phi_1L^4)(y_t-\mu) = (1 + \theta_1L)(1 + \Theta_1L))\varepsilon_t\]

Функция auto.arima() принимает временной ряд и самостоятельно подбирает необходимые значения параметров. Для этого функция находит оптимальное количество дифференцирований, дающих стационарный ряд. Впоследствии происходит выбор оптимальной модели среди моделей \(ARIMA\) с параметрами \((2, 2), (0, 0), (1, 0), (0, 1)\). После этого параметры выбранной модели меняются на \(\pm1\), добавляются/убираются константы. Подобные итерации происходят до тех пор, пока изменение параметров не приводит к уменьшению скоррекированного критерия Акаике. Подбор сезонных параметров происходит по такой же схеме.