Модель ETS

В основе моделей ETS лежит экспоненциальное сглаживание – метод прогнозирования, при котором значения переменной за все предыдущие периоды входят в прогноз, экспоненциально теряя свой вес со временем. Это позволяет модели с достаточной степенью гибко реагировать на новейшие изменения в данных, сохраняя при этом информацию об историческом поведении временного ряда. Простое экспоненциальное сглаживание выглядит как \(\hat y_{T+1|T} = \alpha\sum_{i=0}^{\infty} (1-\alpha)^i y_{t-i}\), где \(y_t\) – значение переменной \(y\) в момент \(t\), \(\hat y_{T+1|T}\) – прогноз на период \(T+1\) по значениям \(y\) до \(t\), \(\alpha\) – калибруемый параметр. Иначе это можно записать по компонентам: \[ \left. \begin{gathered} \mbox{Прогноз:} & \hat y_{t+h|t} = l_t \\ \mbox{Сглаживание:} & l_t = \alpha y_t + (1-\alpha) l_{t-1} \end{gathered} \right. \]

Модели ETS могут быть использованы для прогнозирования рядов с выраженным трендом и сезонностью. В таком случае экспоненциальное сглаживание также используется для оценки вклада последних двух факторов. Каждый из трех компонентов модели – ошибки (Errors), тренд (Trend), сезонный фактор (Seasonality) – может быть специфицирован отдельно, откуда класс моделей и несет свое название. Ошибки \(\varepsilon\) могут быть аддитивными (\(A\); \(y_{T+1} = l_t + b_t + \varepsilon_{T+1}\)) и мультипликативными (\(M\); \(y_{T+1} = (l_t + b_t)(1 + \varepsilon_{T+1})\)). Тренд \(b\) может отсутствовать (\(N\); \(\hat y_{T+h} = l_t\)), быть постоянным (\(A\); \(\hat y_{T+h} = l_t + h b_t\)) или сходить на нет со временем (\(A_d\); \(y_t = l_t + \phi_h b_t, \phi_h = \sum_{i=1}^{h} \phi^i\)). Сезонный фактор \(s\) может отсутствовать (\(N\); \(\hat y_{T+h} = l_t\)), быть аддитивным (\(A\); \(\hat y_{T+h} = l_t + s_{t+h-m(k+1)}\), где \(m\) – период, \(k = [(h-1)/ m]\)) или мультипликативным (\(M\); \(\hat y_{T+h} = l_t s_{t+h-m(k+1)}\)). В итоге, из этого конструктора складывается модель, которая обозначается тремя буквами: например, \(ETS(A, A_d, N)\). Калибровка параметров модели производится с помощью минимизации целевой функции – например, суммы квадрата ошибок \(\sum_{i=0}^{\infty} \varepsilon_{t-i}\) или функции максимального правдоподобия.

Полная классификация моделей ETS по компонентам приложена ниже:

Источник: Hyndman & Athanasopoulos (2018).

Одним из преимуществ класса моделей ETS является то, что модели легко сравнимы между собой внутри класса, поэтому существует много инструментов для отбора наиболее подходящей. Как правило, отбор осуществляется с использованием различных метрик, таких как информационые критерии Акаике и Байеса. После того, как из всего класса моделей на имеющейся выборке наблюдений выбрана лучшая, с помощью нее рассчитываются будущие точечные оценки и их конфиденциальные интервалы, что в совокупности и образует прогноз.

Источники:

Hyndman, R. J., & Athanasopoulos, G. (2018). Forecasting: Principles and Practice. OTexts.