Большой семинар кафедры теории вероятностей (МГУ)

Руководитель семинара — академик РАН, профессор А. Н. Ширяев.
Семинар проводится по средам в МГУ (ГЗ) аудитория 16-10 с 16:45 до 17:45.

---

---

---

Программа семинара (2012-2013)

---

 

---

11 ноября. И.В. Атласов (Воронежский институт МВД России).

 Эффективность работы  нескольких взаимозаменяемых устройств.

    Эта задача появилась в результате обобщения задачи из книги "Курс теории вероятностей" Гнеденко Б.В. Он рассматривал работу системы, состоящей из двух взаимозаменяемых устройств. Эти устройства работают в следующем порядке: сначала работает первое устройство, потом оно выходит из строя и ремонтируется, его заменяет второе устройство, потом и второе выходит из строя и также ремонтируется. Если время работы первого устройства меньше времени ремонта второго устройства, то в работу системы включается первое устройство. Если нет, то считаем, что система окончила работу и время работы системы равно времени работы первого и второго устройства. Если время работы второго устройства меньше времени ремонта первого устройства, то в работу системы включается первое устройство.    В результате построена арактеристическая функция времени работы системы. Используя эту характеристическую функцию, было найдено математическое ожидание времени работы системы и предложены способы его увеличения.   В работе эта задача обобщается на неограниченное количество взаимозаменяемых устройств. Cтавится задача о том, каким образом, используя определенный алгоритм подключения, построить арактеристическую функцию работы системы и добиться того, чтобы математическое ожидание стремилось к бесконечности гораздо быстрее, чем n.   Для решения задачи о скорости сходимости математического ожидания были рассмотрены два варианта функций распределения времени работы и ремонта устройств. В первом случае взяты экспоненциальные законы распределения времени работы и ремонта системы. Во втором случае взяты нормальные законы распределения времени работы и ремонта системы. Доказано, что в обеих случаях  математическое ожидание эквивалентно экспоненциальной функции на бесконечности. Для увеличения скорости сходимости математического ожидания,  в случае показательного закона распределения, необходимо математическое ожидание времени работы устройства сделать как можно больше атематического ожидания времени ремонта устройства. Получены рекомендации для увеличения  математического ожидания времени работы системы.

 

---

28 октября. А. А. Гущин (МИАН, МГУ, ВШЭ; Москва).

 От вложения Скорохода к теоремам Монро: новые постановки и решения.

   Задача вложения Скорохода была впервые поставлена и решена А. В. Скороходом в 1961 году. Требуется для заданной вероятностной меры μ с нулевым средним и конечным вторым моментом найти такие броуновское движение B и интегрируемый момент остановки τ , что распределение B_τ есть μ. За прошедшие полвека было найдено более 20 различных решений этой (или слегка модифицированной) задачи.    Задача вложения Скорохода имеет дело с вложениями заданного распределение в данный процесс посредством момента остановки. Нас будут в основном интересовать вложения целого случайного процесса в, скажем, броуновское движение, с помощью замены времени. Теорема Монро (1978) утверждает, что все семимартингалы (и только они) получаются заменой времени из броуновского движения.    Мы докажем аналог этого результата для вложений в геометрическое броуновское движение. Мы также укажем на связь этого результатата с другой теоремой Монро (1972), которая говорит, что любой мартингал может быть получены из броуновского движения посредством замены времени, состоящей из так называемых минимальных моментов остановки. Из нашей теоремы вытекает то же утверждение для всех супермартингалов, ограниченных снизу.    Наша заключительная цель — описать все интегрируемые процессы, которые могут быть получены из броуновского движения заменой времени, состоящей из минимальных моментов остановки.  Доклад основан на совместной работе с М. А. Урусовым (Университет Дуйсбург-Эссен).

---

29 апреля 2015

Подведение итогов XIV Колмогоровской олимпиады по теории вероятностей.

В ознаменование дня рождения А.Н. Колмогорова кафедра теории вероятностей провела четырнадцатую Колмогоровскую студенческую олимпиаду по теории вероятностей. Олимпиада была проведена 25 апреля раздельно для I–II и III–V курсов (продолжительность — 5 часов). В олимпиаде приняли участие и сдали работы 36 студентов I–II курсов и 18 студентов III–V курсов механико-математического факультета и факультета ВМК Московского Государственного Университета, а также студенты из Московского Государственного Строительного Университета и Санкт-Петербугского Государственного Университета. На заседании семинара будут разобраны задачи, предложенные на олимпиаде, пройдет награждение победителей и показ работ. 

---

29 апреля 2015 — Рейнхард Виртль  (Венский технический университет)

Случайность и нечеткая информация 

Кроме изменчивости есть еще один вид неопределенности в статистических данных, т.е. так называемая нечеткость всех видов данных, получаемых из непрерывных величин. Этот факт и неопределенность априорных знаний при байесовском подходе делает необходимым учет нечеткости в стохастических моделях. Более общее понятие вероятности, основанное на так называемых нечетких распределениях вероятностей, кажется наиболее современной математической структурой для моделирования априорной информации. Сочетание стохастических моделей и нечетких моделей подходит для анализа нечетких данных. В докладе будут объяснены соответствующие процедуры получения статистических выводов. 

---

15 апреля 2015 — Лебедев А.В.  (МГУ)

Неклассические задачи стохастической теории экстремумов
(предзащита докторской диссертации) 

Автором поставлен и решен ряд неклассических задач стохастической теории экстремумов:

1. Получено достаточное условие асимптотической эквивалентности максимумов в общей схеме максимумов сумм н.о.р. случайных величин с тяжелыми хвостами и продемонстрировано его применение к максимумам суммарных активностей в моделях информационных сетей. 
2. Доказаны новые предельные теоремы об экстремумах признаков частиц в ветвящихся процессах при отказе от классических предположений.
3. Введены понятия экстремальных индексов в схеме серий (двумя способами) для систем зависимых случайных величин, взятых в случайном количестве, изучены их свойства и взаимосвязь с классическим экстремальным индексом. 
4. Введены максимальные ветвящиеся процессы с одним и несколькими типами частиц (с произвольными неотрицательными значениями), представляющие собой экстремальные аналоги классических ветвящихся процессов, доказаны эргодические и предельные теоремы для них, рассмотрены приложения. 

---

8 апреля 2015 — Нагаев С.В.  (Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН)

Спектральный метод и цепи Маркова с произвольным фазовым пространством.

Разработана модификация спектрального метода, пригодная для доказательства предельных теорем для общих в смысле эргодических свойств цепей Маркова. Суть этого метода заключается в применении к цепям Маркова спектральной теории банаховых алгебр. Первый вариант спектрального метода был предложен автором настоящего доклада в 1957 г. С тех пор этот метод использовался во многих работах разных авторов. Однако применение спектрального метода до сих пор ограничивалось равномерно эргодичными цепями Маркова, т.е. цепями, для которых скорость стремления к стационарному распределению не зависит от начального состояния. Между тем, многие цепи Маркова, использующиеся в приложениях, в частности счетные цепи, не являются равномерно эргодичными. Прогресс достигнут за счет ранее неизвестного представления резольвенты линейного оператора в функциональном пространстве. 

---

1 апреля 2015 — Зверкина Г.А.  (Московский государственный университет путей сообщения)

Вольфганг Дёблин (1915-1940).

Будет рассказано о жизни и научных результатах Вольфганга Дёблина. Работы Дёблина, наряду с работами А.Н. Колмогорова, А.Я. Хинчина и П. Леви, сыграли значительную роль в развитии теории вероятностей в первой половине XX-го века.

---

25 марта 2015 — Запорожец Д.Н.  (Санкт-Петербургское отделение математического института им. В.А.Стеклова РАН)

О выпуклой оболочке многомерного случайного блуждания.

Хорошо известен классический результат о том, что для одномерного случайного блуждания с непрерывной и симметричной функцией распределения вероятность оставаться положительным за n шагов не зависит от распределения блуждания. В докладе мы обсудим, как данное утверждение можно обобщить на двумерный случай, и предложим гипотезу для многомерного случая. Кроме того, в многомерном случае будет получена формула для среднего числа граней выпуклой оболочки случайного блуждания, которое, как оказалось, тоже не зависит от распределения блуждания, причем без предположения о симметричности. Также в этом общем случае будет дана формула для средней площади поверхности выпуклой оболочки случайного блуждания. Доклад основан на совместной работе с В. Высоцким

---

18 марта 2015 — Фалин Г.И.  (МГУ им. М.В. Ломоносова)

Преподавание статистики и теории вероятностей в школах Великобритании.

В связи с внедрением элементов теории вероятностей в российскую школьную программу, часто ссылаются на «зарубежный опыт». В чём заключается этот опыт, остаётся неизвестным. Цель доклада — рассказать о современных программах преподавания статистики и теории вероятностей в британских школах на разных уровнях (включая довузовскую подготовку), основных школьных учебниках и экзаменах. Основное внимание будет уделено GCSE (некоторому аналогу отечественного ЕГЭ). Мы также кратко затронем и проблемы британского школьного математического образования, которые обсуждает общественность Великобритании. Основное внимание будет уделено «инфляции оценок» и связанными с ней попытками ухода от экзаменов A-level GCE (которые выполняют роль вступительных экзаменов в университеты). В частности, мы кратко расскажем о требованиях по теории вероятностей и статистике в программе Cambridge Pre-U. Чтобы сравнить программы, экзамены и практику преподавания статистики и теории вероятностей в британских школах с отечественной ситуацией, мы кратко расскажем о статистике и теории вероятностей в ФГОС, ГИА, ЕГЭ и деятельности, связанной со школьной математикой. 

---

11 марта 2015 - Сенатов В.В.  (МГУ им. М.В. Ломоносова)

О новом типе оценок точности аппроксимации в ЦПТ.

История исследований точности аппроксимации в центральной предельной теореме насчитывает более семи десятилетий, в течение которых были получены различные оценки близости распределений сумм независимых случайных величин к нормальному закону. Основной недостаток этих оценок состоит в том, что они являются очень грубыми (при этом некоторые из них улучшить невозможно). В докладе будет рассказано о том, как с помощью выделения широких классов распределений, изменения постановок задач, и с привлечением асимптотических разложений можно получать оценки, которые многократно точнее известных. 

---

4 марта 2015 - Жданов А.И., Питербарг В.И.  (МГУ им. М.В. Ломоносова)

Вероятности высоких выбросов произведения двух гауссовских стационарных процессов.

Рассматриваются два гауссовских стационарных процесса со степенным поведением их корреляционных функций в нуле. Найдено асимптотическое поведение вероятности выхода траекторий произведения этих процессов за высокий уровень. Метод исследования представляет собой дальнейшее развитие метода двойных сумм.

---

25 февраля 2015 - И.А. Высоцкий, А.А. Макаров, И.В. Ященко  (МЦНМО)

Статистика и теория вероятностей в школе. Опыт. Перспективы.

В соответствии с требованиями ФГОС в российской школе с 2004 года в курс математики поэтапно вводятся элементы статистики и теории вероятностей. Авторская группа под руководством Ю.Н.Тюрина с 2004 года разрабатывает УМК по теории вероятностей для общеобразовательной школы. С 2005 года в Москве, а затем и в других регионах начали работать курсы переподготовки учителей по направлению "Методика вероятности в школе". С 2010 года простейшие задачи по теории вероятностей вошли в государственную аттестацию девятиклассников, а с 2012 - в ЕГЭ. Принятая в декабре 2013 года Концепция развития математического образования прямо утверждает приоритетной развития практико-ориентированных разделов школьной математики, в первую очередь - теории вероятностей и статистики. За десятилетие накоплен значительный опыт в подготовке учителей, методике преподавания, формировании содержания предмета. Доклад посвящен краткому обзору нынешней ситуации и перспектив развития изучения теории вероятностей и статистики в школе. Большое место уделяется опыту Москвы. Отдельное место в докладе занимают вопросы просвещения и популяризации, включая олимпиаду для школьников, которая проводится с 2008 года.

---

18 февраля 2015 - А.А. Дороговцев  ( Институт математики НАН Украины )

Потоки броуновских частиц и стохастические интегралы

Для потоков броуновских частиц с сингулярным взаимодействием обсуждается представление Крылова - Веретенникова, аналог формулы Троттера и квадратичная энтропия.

---

Конференция Ломоносов (три выступления по 20 минут). (9 апреля 2014)

С.А. Музычка (МГУ). Динамический фазовый переход в простейшей модели цепочки молекул.
Изучается линейная гамильтонова система осцилляторов (молекул) под действием различных возмущающих факторов.
В случае постоянной силы приводятся точные оценки амплитуды колебаний между частицами. Используя процедуру двойного скейлинга (double scaling limit), показывается, что в системе имеется фазовый переход, разделяющий область, где кристаллическая структура мало меняется на протяжении всего бесконечного времени, и область, где супремум растет с ростом числа элементов. В случае возмущения белым гауссовским шумом хорошо известно, что линейная гамильтонова система не имеет инвариантных распределений. Среднее энергии линейно растет с течением времени, и потому оценки, аналогичные тем, что были описаны выше, здесь не имеют смысла. Для этого случая находится асимптотика времени разрыва цепочки, а именно, показывается, что при соответствующем скейлинге параметров время разрыва слабо сходится к моменту выхода броуновского движения из многомерного выпуклого компакта.

  А.С. Ракитько (МГУ). Центральные предельные теоремы для массивов перестановочных случайных величин.
Во многих стохастических моделях возникают функции от конечных наборов случайных величин,распределения которых инвариантны относительно перестановок. Классическая теорема де Финетти описывает последовательности случайных величин, обладающие свойством перестановочности. Известно, что для конечных наборов аналог этого результата, вообще говоря, несправедлив. Особый интерес и сложности представляют конечные системы перестановочных случайных величин, про которые неизвестно, допускают ли они увеличиение числа элементов с сохранением свойства перестановочности. Для таких (построчно перестановочных) массивов автором установлены новые варианты центральной предельной теоремы. В ходе доказательств использовалась техника Стейна и метод Линдеберга.
Даются применения установленных результатов в исследовании асимптотического поведения статистик, позволяющих выявлять наборы существенных факторов.

  А.Ю. Хапланов (МГУ). Скорость сходимости оценок параметров линейной логистической регрессии с изменяющимися коэффициентами.
Рассматривается семипараметрическая логистическая регрессия, введенная T. Hastie и R. Tibshirani в 1993 году и получившая дальнейшее развитие в последующие 20 лет (достаточно указать на недавние работы таких авторов, как V. Chernozhukov, A. DeMaris, K.A.Doksum, D.Hosmer, J. Wakefield, Y. Huang). Модели такого рода находят применение в медицине, экономике и географии. Автором предложены новые оценки параметров логистической регрессии. При этом удалось избавиться от традиционного предположения ограниченности используемых предикторов. Развиваемый подход может быть также использован при изучении квантильной регрессии.

---

Детерминированное блуждание в случайной изменяющейся среде. (2 марта 2014)
Докладчик: В.Б.Приезжев (ОИЯИ)

Аннотация:
Будет рассказано о модели, которая в математической литературе получила название "rotor-router walk". Она обладает следующими свойствами: - Если модель определена на конечном графе, то при любых начальных условиях за конечное число шагов блуждание превращается в эйлеров цикл. - Если модель определена на бесконечной двумерной решетке, то блуждание становится субдиффузионным с асимптотическим поведением r ~ t^{1/3} при больших временах t. - При наличии поглощающей границы многократное повторение блуждания превращает случайную решеточную среду в покрывающее дерево (spanning tree) со степенным убыванием корреляций. После подробного введения рассказано о свежих результатах в этой области.

---

О новых оценках точности аппроксимации в центральной предельной теореме. (26 марта 2014) 
Докладчик:Сенатов В. В. (Московский государственный университет, механико-математический факультет, кафедра теории вероятностей)

Аннотация:

В докладе рассматривается простейшая схема суммирования независимых одинаково распределённых случайных величин с нулевым средним, единичной дисперсией и конечным моментом третьего или четвёртого порядка. Далее, F_n -- функция распределения нормированных сумм, G -- функция распределения стандартного нормального закона. Обсуждаются две группы результатов. Первая из них связана с неравномерными оценками близости функций F_n и G. Рассматриваются оценки величины |F_n(x) - G(x)| на подобие тех, что появлялись в работах Г. Крамера 1937 г. и К.-Г. Эссеена 1945 г. Для распределений с ненулевым моментом третьего порядка предложенные оценки эквивалентны оцениваемой величине при всех x, не равных 1 или -1. Обсуждаются также традиционные неравномерные оценки. Вторая группа результатов связана с модификациями тейлоровских разложений характеристических функций, которые появились в работе Х. Правитца 1991 г. Эти модификации позволяют существенно (иногда – в два раза) уточнить многие известные и получить новые неулучшаемые результаты. Обсуждаются два таких результата.

---

Докладчик: Ватутин В. А. (Математический институт им. В. А. Стеклова) (19 марта 2014)

Аннотация:
Рассматривается строго критический разложимый ветвящийся процесс Гальтона-Ватсона с N типами частиц, занумерованными символами 1,2,...,N, в котором частицы типа i могут производить потомков лишь типов j >= i. Эту модель можно интерпретировать как модель развития популяции, индивидуумы которой могут находится на одном из N островов, занумерованных числами от 1 до N, причем индивидуум (частица) популяции имеет тип i, если он находится на острове i. Новорожденные частицы острова i <= N-1 либо остаются на родном острове, либо сразу после рождения иммигрируют на один из островов i+1,i+2,...,N. Частицы с острова N не мигрируют. Для описанного ветвящегося процесса исследуется структура порожденного им редуцированного процесса, распределение момента рождения ближайшего общего предка всех частиц, существующих в популяции в далекий момент n, а также тип частицы, являющейся ближайшим общим предком.

---

Недавние результаты о восстановлении распределения по его моментам. (12 марта 2014)
Докладчик: Стоянов Й.(Newcastle University, U.K.)

Аннотация:
Вступительная часть доклада посвящена двум недавно возникшим вероятностным задачам. Однако основным объектом изучения являются распределения (одномерные или многомерные) с тяжелыми хвостами, имеющие все моменты. Ключевым вопросом здесь является: однозначно ли определяются указанные распределения по своим моментам? Цель доклада --- дать представление о текущем состоянии дел в этом вопросе. Будут предложены некоторые нерешенные задачи.
Доклад основан на следующих недавних работах автора:
1. Stoyanov, J & Lin, GD (2012) Hardy’s condition in the moment problem for
probability distributions. TPA 57:4, 812-820 [SIAM edition: 57:14 (2013), 699-708]
2. Kleiber, C & Stoyanov, J (2013) Multivariate distributions and the moment problem.
J. Multivar. Analysis. 113:1, 7-18
3. Lin, GD & Stoyanov, J (2014) Moment determinacy of powers and products of
nonnegative r.v.s. J. Theoret. Probab. arXiv: 1403.0301 [math.PR] 3 Mar 2014
4. Stoyanov, J, Lin, GD & DasGupta, A (2014) Hamburger moment problem for powers
and products of random variables. J. Statist. Planning & Inference.
Doi: http://dx.doi.org/10.1016/j.jspi.2013.11.02

---

Об экстремальных значениях гауссовского хаоса: метод Лапласа. (26 февраля 2014)
Докладчики:Д. А. Коршунов (Институт математики им. С. Л. Соболева), В. И. Питербарг (МГУ им. М. В. Ломоносова), Э. Хашорва (Университет Лозанны)

Аннотация:
Пусть \xi --- d-мерный гауссовский случайный вектор и h --- однородная функция положительной степени. В докладе обсуждается поведение распределения больших значений гауссовского хаоса h(\xi}). Важными примерами гауссовского хаоса являются произведение координат, квадратичная форма и детерминант случайной матрицы. Используя асимптотический метод Лапласа, мы исследуем субэкспоненциальность и другие асимптотические поведения распределения хвоста случайной величины $h(\xi)$, а также его плотности. При этом, даже в случае изучения квадратичных форм, <<классический>> метод Лапласа, когда максимум фазы достигается в единственной точке, становится неприменим. Будет рассмотрено, как можно обобщить этот метод  на случай достижения фазой максимума на некотором многообразии положительной размерности. Будут обсуждаться также другие методы исследования хвоста распределения гауссовского хаоса.

---

Линейные и нелинейные Марковские системы на прямой. (19 февраля 2014).
Докладчик: Музычка С. А

Аннотация:
Рассматривается N частиц на прямой, каждая из которых совершает либо детерминированное движение, либо случайное блуждание с взаимным влиянием. Доклад состоит из двух частей. Сначала рассматривается задача о вероятности выхода из заданной области N-мерного пространства. Затем доказывается, что при N, стремящемся к бесконечности, при определенных условиях на взаимодействие, движение каждой отдельно частицы будет описываться нелинейным марковским процессом. Изучаются свойства этого процесса: интегралы движения, однопараметрическое семейство инвариантных мер и прочее.

---

О потраекторно-детерминированном подходе к задаче стохастического оптимального управления.(12 февраля 2014)
Докладчики: Исамагилов Н. С., Насыров Ф. С. (Уфимский государственный авиационный технический университет (УГАТУ), кафедра математики.)

Аннотация:
В докладе рассматриваются задачи оптимального управления стохастическими дифференциальными уравнениями. Авторами предложен новый метод исследования таких задач, который позволяет свести стохастические задачи к потраекторно-детерминированным. Основным преимуществом потраекторного подхода является возможность применения классических методов решения задач оптимизации.
В частности, доказано, что задачи с управлением, воздействующим только на коэффициент сноса, могут быть сведены к классическим детерминированным задачам оптимального управления обыкновенными дифференциальными уравнениями. Предложен способ построения неупреждающих решений данной детерминированной задачи. Далее, метод обобщен на задачи с линейно управляемым коэффициентом диффузии. Доказано, что они могут быть сведены к детерминированным задачам оптимального импульсного управления. Для задач с импульсным управлением также предложен способ построения неупреждающих решений.
Предложенные методы применяются для решения стохастических задачи инвестирования и задачи оптимального управления производством.

---

---