Руководители: д.ф.-м.н., проф. В.Д. Конаков и д.ф.-м.н., доц. А.В. Колесников. 

 НИС по теории вероятностей проводится по пятницам в 15.30.

Адрес: ул. Вавилова, д.7, Факультет математики НИУ ВШЭ

---

---

Архив семинара (2012-2013).

---

---

Программа семинара (2013-2015):

---

---

4 декабря 2015 года 17.00; Аудитория 209

Елизавета Аржакова

Гипотеза Малера

Было рассказано про гипотезу Малера, которая имеет удивительно простую формулировку, однако до сих пор не доказана. Гипотеза представляет собой оценку объема Малера центрально-симметричного тела в n-мерном евклидовом пространстве снизу и сверху. В своем докладе я изложу оригинальное доказательство самим Малером гипотезы для двухмерного случая, а также докажу оценку сверху (неравенство Блашке-Сантало) для высших размерностей. Оценка сверху для размерностей больше 2 до сих пор не получена, однако удалось получить некоторые ее приближения, которые были продемонстрированы. 

---

13 ноября 2015 года 17.00; Аудитория 209

Артем Щербаков

Неравенство Брунна-Минковского

На докладе  рассказано простое доказательство классического неравенства Брунна-Минковского и рассказано о его современных приложениях.

---

9 октября 2015 года 17.00; Аудитория 209

Данила Заев

"Пространства бистохастических мер".

Под бистохастической мерой понимается мера на квадрате, такая, что её проекции на стороны равны лебеговским мерам. Оказывается, что это очень богатый объект, в том или ином виде встречающийся в разных разделах математики: в теории вероятностей, анализе, динамических системах. Например, такие меры эквивалентны транспортным планам с фиксированными одинаковыми маргиналами, марковским переходным ядрам, сохраняющим выделенную меру, марковским операторам и т.д.
Рассказ в основном будет посвящён множеству таких объектов, которое является выпуклой компактной полугруппой. В частности будут рассказаны (классические) результаты о характеризации крайних точек такого множества, дискретным аналогом которых является классическая теорема Бирхгофа-фон Неймана.

---

22 мая 2015 года 17.00; Аудитория 209

Анна Кожина. 

 "Метод параметрикса для переходных плотностей диффузий Ито " 

На основе статьи "Локальные предельные теоремы для переходных плотностей Марковских цепей, сходящихся к диффузиям" (2000, Конаков, Mammen).

---

24 апреля 2015 года

Алексей Барсуков

 На семинаре определены точечные процессы, пуассоновские точечные процессы. Расскано о свойстве устойчивости для них и также рассмотрены некоторые их приложения.

---

17 апреля 2015 года

Александра Архипова. По мотивам: Yann Ollivier, Ricci curvature of Markov chains on metric spaces

http://www.math.uchicago.edu/~shmuel/QuantCourse%20/Metric%20Space/Olliver,%20Ricci%20curvature%20of%20markov%20chains.pdf

Речь пойдёт о том, как можно определить кривизну Риччи для марковских цепей. Будут доказаны аналоги некоторых оценок, полученных с использованием обычной кривизны Риччи, таких как теорема Боннета-Майерса и спектральная щель, обобщенные на случай локальной кривизны Риччи марковских цепей на метрических пространствах. Доклад будет проиллюстрирован конкретными вычислительными примерами.

---

20 марта 2015 года

А.В. Колесников. Классические диффузионные полугруппы, ортогональные многочлены,  неравенства, эргодичность.

Рассказ по мотивам недавно вышедшей книги. D. Bakry,  I. Gentil, M. Ledoux. Analysis and geometry of Markov diffusion operators

Будут рассказаны базовые факты и примеры приложений в вероятности и анализе техники полугрупп, т.е. решения уравнений u_t = Lu, где L - линейный дифференциальный эллиптический оператор второго порядка.
Рассказ будет проиллюстрирован несколькими конкретными примерами, в которых полугруппы имеют явное решение (полугруппа теплопроводности в евклидовом пространстве, на сфере, в гиперболическом пространстве, полугруппа Орнштейна-Уленбека и т.д.).

---

6 марта 2015 года 

Геннадий Мартынов. Cram´er-von Mises test for Gaussian distribution in Hilbert Space

---

30 января 2015 года

Максим Панов (ПреМоЛаб МФТИ, ИППИ РАН). "Semiparametric Bernstein - von Mises Theorem: non-asymptotic approach"

The classical parametric and semiparametric Bernstein - von Mises (BvM) results will be reconsidered in a non-classical setup allowing finite samples and model misspecification. In the case of a finite dimensional nuisance parameter we obtain an upper bound on the error of Gaussian approximation of the posterior distribution for the target parameter which is explicit in the dimension of the nuisance and target parameters. This helps to identify the so called critical dimension of the full parameter for which the BvM result is applicable. The results are extended to the case of infinite dimensional parameters with the nuisance parameter from a Sobolev class. The general results will be accompanied with specific examples illustrating the theory."

---

19 декабря  2014 г.

Михаил Миронов. Решение задачи о двуруком бандите с конечной памятью ("Two-armed bandit problem").

Приблизительная формулировка задачи следующая.  Даны две различные несимметричные монеты. Вероятности выпадения орлов  у этих монет неизвестны. Производится серия бросков, причём перед каждым броском совершается выбор, какая из двух монет  будет брошена. Требуется предъявить алгоритм, максимизирующий долю выпавших орлов в серии, при длине серии, стремящейся к бесконечности.

---

14 ноября  2014 г. 

Egor Kosov (MSU). Estimates of integral norms of polynomials on spaces with convex measures

---

24 октября  2014 г. 

Данила Заев. "Введение в некоммутативную теорию меры"

На сегодняшний день построены «некоммутативные» аналоги большинства классических математических теорий. В вероятностной науке, например, наиболее известна теория «свободной вероятности» (free probability). 
В своём рассказе я планирую отойти от стандартного изложения свободной вероятности, и определю сначала «некоммутативный» аналог теории меры. Оказывается, что ключевым приёмом в построении такого аналога является повсеместная замена «множеств» на «векторные пространства», а теоретико-множественных конструкций на конструкции из линейной-алгебры. Таким образом, мы определим некоммутативные аналоги большинства стандартных понятий, вроде сигма-алгебры, меры, пространств случайных величин, математического ожидания, произведения мер.

---

10, 17 октября  2014 г. 

Alexander Kolesnikov. Linear programming and mass transportation. Basic facts, new results, and open questions.

 

Recent developments of the mass transportation theory will be discussed. Starting with basic theorems of linear programming, Kantorovich duality theory, 
and discrete mass transportation, we continue with discussion of recent results and related open problems. We will put a special emphasis on applications 
in economics and stochastic processes.

---

3 октября  2014 г.

Марк Кельберт. "Probabilistic proof of Shannon's entropy power inequality".

 

 Let $X$ and $Y$ be independent random variables with PDFs. Then the differential entropy $$h(X+Y)\geq h(X'+Y')$$ where $X'$ and $Y'$ are independent Gaussian RVs such that $h(X)=h(X')$ and $h(Y)=h(Y')$.

---

26 сентября 2014 г. (15.30, ауд. 213)

Зверкиной Г.А. "О методе счетного каплинга в моделях обслуживания/ в кусочно- детерминированных марковских процессах"

---

30  мая 2014 г.

А. Колесников "Транспортные уравнения с негладкими коэффициентами"

В докладе будет рассказано о  линейных (транспортных) уравнениях первого порядка с коэффициентами из пространств Соболева и функций ограниченной вариации. Будет рассказано о некоторых классических методах (в частности, методе Ди Перна-Лионса) доказательства существования/единственности решений и о последних результатах, полученных в этом направлении.

---

23  мая 2014 г.

Станислав Шапошников. Мехмат МГУ. Неравенство Харнака

---

16 мая 2014 г.

Hilmar Mai (Weierstrass institute for applied analysis and stochastics, Berlin, Germany) Statistical inference for Lévy-driven SDEs: drift and volatility estimation

We review recent developments in the field of statistics for Lévy-driven jump diffusion processes. In opposite to classical estimation theory for SDEs driven by Brownian motion the jump case poses several new challenges. We will discuss some techniques to tackle these challenges for estimation of drift and volatility. In order to obtain a feasible estimation problem a jump filtering step becomes necessary followed by the actual estimation of coefficient under consideration. After the general overview we will go into more details for the drift estimation problem and present efficient estimators. Finally, we discuss some numerical examples.

---

25 апреля 2014 г. ауд. 213, 15-30 

Павел Мозгунов. Альфа-устойчивые распределения и границы применения Фильтра Калмана.

В первой части доклада будет рассказано про довольно простой способ моделирования альфа-устойчивых распределений ( по мотивам следующей статьи  ) и будут показаны результаты реализации данного алгоритма. Во второй части работы будут представлены эмпирические результаты применения Фильтра Калмана в случае ошибок с "тяжелыми хвостами", будет показано насколько тяжесть хвоста влияет на ошибку оценивания параметров и на суммарную ошибку оценивания ненаблюдаемых компонент в случае применения стандартной процедуры Фильтра Калмана. 

---

18 апреля 2014 г. ауд. 213, 15-30 

Игорь Сироткин (НИУ-ВШЭ). Моделирование процессов Леви.

В докладе будут рассмотрены основные типы процессов Леви и их свойства. Затем, будут предложены простые алгоритмы моделирования таких процессов.

---

11 апреля 2014 г. ауд. 213, 15-30 

Александр Колесников. Транспортная задача и равновесие. Приложения в экономике.

По мотивам работы https://www.ceremade.dauphine.fr/~carlier/IMA-transport-Lecture-Notes.pdf . Рассказано о нескольких приложениях задачи оптимальной транспортировки и  близких вариационных задач в математической экономике.

---

21 марта 2014 г. ауд. 213, 15-30 

Денис Беломестный (Университет Дуйсбург-Эссен). Схема Эйлера, стохастическое разложение Тэйлора и группы Ли. 

В докладе объяснены основные принципы аппроксимации решений стохастических дифференциальных уравнений. В частности введены схемы Эйлера и Мильштейна, а также рассмотрен общий способ построения аппроксимаций высокого порядка основанный на стохастическом разложение Тэйлора. 
Также показана связь стохастического разложения Тэйлора с группами Ли.

---

7,14 марта 2014 г. ауд. 213, 15-30 

Гущин Александр Александрович (МИАН, НИУ ВШЭ) "Еще о вложении Скорохода и потраекторных максимальных неравенствах".

В докладе изложена современная постановка задачи вложения Скорохода и некоторых ее обобщений, объяснены решения Чакона-Уолша и Азема-Йора этой задачи. Также будет предложен простой вывод потраекторных максимальных неравенств и отмечена их связь с решением Азема-Йора.

---

21 февраля 2014 г. ауд. 213, 15-30 

Михаил Савостьянов «Микроструктурные проблемы рынка в случае высокочастотной торговли».

В данном докладе будет предложена модель, связывающая микроструктурные свойства актива с размером тика на бирже. В частности, будет введено понятие неявного спреда, играющего роль спреда для активов большого тика, для которых фактический размер спреда почти всегда равен одному тику, что свойственно для высокочастотной торговли. Актуальность этого нового параметра будет показана как теоритически, так и эмпирически.

---

14 февраля 2014 г. ауд. 213, 15-30 

А.В. Колесников (НИУ ВШЭ). Техника функций Ляпунова в доказательстве соболевских  неравенств.

Одним из простых и эффективных инструментов доказательства неравенств типа Соболева для вероятностных мер является инструмент функций Ляпунова. В докладе обсуждено понятие функции Ляпунова и приведены базовые примеры приложения этой техники. В частности, обсуждены некоторые результаты работы http://arxiv.org/pdf/1001.1822.pdf и некоторые новые результаты из совместной работы докладчика с Э. Мильманом (Хайфа).

---

20 декабря 2013 г. ауд. 213, 15-30 

В данном докладе будет введено понятие экспоненциального функционала от процессов Леви, рассказано о различных аспектах использования данного объекта в прикладных задачах. Особое внимание будет уделено статистическим подходам к восстановлению характеристик процесса Леви по его экспоненциальному функционалу.

Функциональные данные встречаются во многих статистических приложениях. Примерами могут служить внутридневные волатильности, ценообразование опционов, дневные паттерны геофизических данных и др. Модели функциональных временных рядов используются для описания динамики функциональных данных. В докладе будут дан некоторый обзор функциональных обобщений для классических моделей и будут представлены результаты теории экстремальных значений для функциональных временных рядов.

Совсем недавно выяснилось, что некоторые хорошо известные результаты теории случайных процессов, например, неравенство Дуба-Колмогорова для мартингалов, легко вытекают из элементарных неравенств для детерминированных последовательностей (см http://arxiv.org/abs/1202.0447). Также выяснилось, что эти результаты имеют интерпретацию на языке финансовых стратегий ("суперхеджирование"). Последние, в свою очередь, связаны с вариационными задачами теории меры (транспортная задача для мартингалов). Об этих задачах и известных на сегодняшний момент связях между ними будет рассказано на семинаре.

  15 ноября 2013 г. ауд. 213, 15-30

Александр Колесников «Гауссовское корреляционное неравенство»

Знаменитая проблема (1972) гауссовского корреляционного неравенства возникла в статистике. Верно ли, что для гауссовской меры m с нулевым средним и двух выпуклых множеств A. B, симметричных относительно нуля, m(A) m(B) не превосходит m(AB)? В недавней работе http://arxiv.org/abs/1310.8099 утверждается, что проблема решена положительно. В докладе будет изложена история этой задачи и рассказана идея доказательства.

Доклад посвящен работе Б. Клартага и Д. Кордеро-Эраскина http://arxiv.org/pdf/1304.0630v1.pdf, в которой при весьма условиях получено решение уравнения Кэлера-Эйнштейна. Уравнение Кэлера-Эйнштейна является предметом интенсивных исследований в дифференциальной геометрии. В настоящей работе предложена вариационная формулировка этого уравнения, существование и единственность решения доказана функционально-аналитическими методами. Исследование мотивировано приложениями этого уравнения к неравенствам для выпуклых тел (см., например http://arxiv.org/pdf/1104.2791.pdf).

Рассматривается некоторая задача максимизации матожидания функции от траектории случайного процесса. Её решение ищется по всем марковским моментам, решающим проблему вложения Скорохода. Утверждается, что такой задаче можно придать смысл, отвечающий оценке "оглядывающихся" опционов, то есть производных финансовых инструментов, выплата по которым зависит не только от цены базового актива на момент предъявления, но и от цен базового актива в предшествующие периоды времени. С математической точки зрения, будут установлены два важных результата. Один из них заключается в нахождении задачи, двойственной к исходной в смысле двойственности Монжа-Канторовича. Другой же состоит в провозглашении "геометрического" факта, аналогичного факту о циклической монотонности носителя оптимальной меры в задаче о транспортировке. Среди его следствий имеется новый подход к получению решений Рута и Рёста для частных случаев проблемы вложения Скорохода.

В данном докладе будет представлен принципиально новый метод моделирования зависимости между двумя процессами Леви. Предложенный подход основан на специальных свойствах многомерных процессов, получающихся из Броуновского движения случайной заменой времени. Особое внимание будет уделено сравнительному анализу нового подхода с методиками оценивания копулы - наиболее популярным в настоящее время средством моделирования зависимости.

Возникновение кластеров экстремальных наблюдений является характерной особенностью для многих прикладных задач. Например, описание таких кластеров является важным в задаче оценки рисков. Мерой кластеризации максимумов многомерных временных рядов является, так называемый, экстремальный индекс. В докладе будут представлены основные свойства экстремального индекса и подходы к построению статистических оценок для него в условиях многомерных временных рядов. Другой важной проблемой в теории экстремумов является зависимость максимумов многомерных временных рядов, в докладе будет представлен один из подходов к измерению этой зависимости.

Данный доклад посвящён замене переменной времени в случайном процессе на некоторый другой случайный процесс. В качестве процесса замены времени наиболее часто используются субординаторы - процессы Леви с покоординатно неубывающими траекториями. Такие случайные замены времени, называемые субординацией, приводят к построению многих общеизвестных случайных процессов, что в совокупности с ясной экономической интерпретацией делает их перспективным средством для стохастического моделирования. В докладе будет в доступной форме рассказано о наиболее важных фактах теории субординации случайных процессов, представлены новые результаты, касающиеся состоятельного оценивания параметров моделей и сформулированы открытые проблемы в данной тематике.

Неравенство Пуанкаре возникает во всех задачах, где задействованы эллиптические дифференциальные уравнения. Задача нахождения наилучшей константы в этом неравенстве эквивалентна поиску наименьшего ненулевого собственного значения оператора Лапласа (так называемая спектральная щель). В первой части доклада будет рассказано о классических результатах такого типа и общих подходах (разложения в ряды Фурье, тензоризация, явление концентрации, неравенства Брунна - Минковского и Браскампа-Либа, формула Бохнера, полугруппа теплопроводности). Во второй части будет рассказано об открытых вопросах, новых недавних результатах и идеях. В частности, будет объяснено, как здесь возникает транспортная задача, уравнения типа Эйнштейна и Монжа-Ампера, конформные преобразования метрик.