Описание научного проекта

Проект 26-00-017 "Алгебры Клиффорда и матричные методы: теория и приложения" (2026 г.)

Направление исследований: Математика.

Настоящий проект посвящен решению фундаментальных и прикладных задач на стыке теории алгебр Клиффорда, матричных методов и их приложений в компьютерных науках и физике. Работа будет вестись по следующим направлениям:

• Группы Ли в алгебрах Клиффорда и приложения к эквивариантным нейронным сетям;
• Приложения алгебр Клиффорда в теории поля и физике;
• Матричные методы и алгоритмические подходы в алгебрах Клиффорда;
• Геометрические аспекты алгебр Клиффорда и приложения в компьютерной графике;
• Гиперболическое сингулярное разложение и его приложения;
• Оптимизация на многообразиях Штифеля.

Практическая значимость результатов: результаты будут иметь применение в физике, геометрии, компьютерных науках, машинном обучении, науках о данных, инженерии.

Все планируемые результаты являются новыми. Они будут опубликованы в рецензируемых научных журналах из Списков A-D и доложены на международных конференциях (в том числе, уровня A_CONF).

Актуальность: Алгебры Клиффорда (или, как их также называют, геометрические алгебры) претендуют на роль универсального языка математики и физики (см. книгу Hestenes D., Sobczyk G., Clifford Algebra to Geometric Calculus – A Unified Language for Mathematics and Physics, Reidel Publishing Company, Dordrecht Holland, 1984.). В настоящее время написано более 40 известных и общедоступных книг по тематике алгебр Клиффорда. С 1991 года регулярно выходит журнал ACCA (Advances in Applied Clifford Algebras, WoS Q2). Последние годы регулярно проводятся различные конференции, посвященные алгебрам Клиффорда и их приложениям в различных науках (знаком X отмечены конференции, в которых принимали участие участники НУГ):


• International Conference on Clifford Algebras and its Applications, каждые 3 года, последние конференции прошли в Израиле (2023, X), Китае (2020, X), Бельгии (2017, X), Эстонии (2014, X), Германии (2011, X);

• Applied Geometric Algebras in Computer Science and Engineering, каждые 3 года, последние конференции прошли в Нидерландах (X), Чехии (2021, X), Бразилии (2018, X), Испании (2015), Франции (2012, X);

• Empowering Novel Geometric Algebra for Graphics & Engineering (ENGAGE) Workshop в рамках International Conference “Computer Graphics International (CGI), последние конференции проходили в Китае (2025, X; 2023, X), Швейцарии (2024, X; 2022, X; 2021, X;  2020, X), Канаде (2019), Индонезии (2018), Японии (2017);

• Alterman Conference and School on Geometric Algebra and Kahler Calculas, конференции проходили в Индии (2019, X), Италии (2018), Болгарии (2017), Румынии (2016, X);

• International Conference of Advances Computational Applications of Geometric Algebra (ICACGA), США (2022, X);

• International Conference on W.K. Clifford's Geometric Algebra and Geographic Information Science (GAGIS), Китай (2023, X); и другие.



Алгебры Клиффорда применяются в различных науках – в физике, геометрии, анализе, компьютерных науках, машинном обучении, инженерии, робототехнике, обработке сигналов и изображений и др. Формализм алгебр Клиффорда оказывается более удобным при решении многих задач по сравнению с матричным формализом. Актуальность настоящего исследования обусловлена дальнейшим применением полученных результатов в различных приложениях. Сингулярное разложение и связанные с ним понятия (ранг матрицы, собственные числа и собственные векторы) являются одними из центральных понятий линейной алгебры и широко используются в компьютерных науках, инженерии, физике, компьютерном зрении, компьютерной графике. Группы Липшица и другие рассматриваемые в рамках данного исследования группы Ли содержат спинорные группы в качестве подгруппы. Спинорные группы естественным образом определяются в случае произвольной размерности и сигнатуры пространства именно в формализме алгебр Клиффорда, вследствие чего формализм алгебр Клиффорда оказывается более удобным для приложений в различных науках при описании вращений. В формализме алгебр Клиффорда связь между спинорными и ортогональными группами в виде двулистного накрытия записывается единообразно в случае произвольной размерности и сигнатуры пространства. Формализм алгебр Клиффорда также естественен для приложений в физике и теории поля. Уравнение Дирака для электрона содержит гамма-матрицы Дирака, которые являются порождающими алгебры Клиффорда сигнатуры (1,3). Отметим, что алгебры Клиффорда изоморфны различных матричным алгебрам над полем вещественных и комплексных чисел, а также над телом кватернионов. Таким образом, все полученные в рамках исследования результаты могут быть переформулированы в терминах соответствующих матричных алгебр.