Описание научного проекта

Проект 22-00-001 "Алгебры Клиффорда и приложения" (2022–2023 гг.)

Направление исследований: Математика.

Целью исследования является решение нескольких задач теории алгебр Клиффорда, важных для приложений.

Задачами исследования являются:

1. Получение явных безбазисных формул для коэффициентов характеристического многочлена в алгебрах Клиффорда произвольной размерности.
2. Обобщение формул Виета на некоммутативный случай алгебр Клиффорда.
3. Нахождение групп Ли, сохраняющих выделенные подпространства алгебры Клиффорда при скрученном присоединенном действии.
4. Доказательство утверждения о разложении элементов полученных групп Ли в произведение элементов фиксированных рангов алгебры Клиффорда.
5. Получение обобщения уравнения Дирака-Хестенеса на n-мерный случай, изучение свойств этого уравнения.
6. Изучение геометрических аспектов алгебр Клиффорда, методов усреднения и мультивекторного дифференцирования, применение этих методов в компьютерных науках.

По итогам проекта будет опубликовано не менее одной публикации из Перечня учитываемых журналов, либо не менее двух статей в WoS; предполагаемый объем статей 15-20 стр., язык английский.

В рамках исследования будут применяться различные методы алгебры, геометрии, теории групп Ли и алгебр Ли, теории представлений, математической физики, вычислительной математики. Также будут применяться методы, разработанные и опубликованные ранее руководителем проекта: метод усреднения в алгебрах Клиффорда, метод кватернионной типизации элементов алгебры Клиффорда. При решении задач проекта будут применяться пакеты на Python «clifford» (https://github.com/pygae/clifford) и «GAlgebra» (https://github.com/pygae/galgebra, адаптирует библиотеку «SymPy» https://www.sympy.org/ru/ для символьных вычислений).

Актуальность исследования:

Алгебры Клиффорда (или, как их также называют, геометрические алгебры) претендуют на роль универсального языка математики и физики (см. книгу Hestenes D., Sobczyk G., Clifford Algebra to Geometric Calculus – A Unified Language for Mathematics and Physics, Reidel Publishing Company, Dordrecht Holland, 1984.). В настоящее время написано более 40 известных и общедоступных книг по тематике алгебр Клиффорда. Приведем некоторые из них:

•  Hestenes D., Space-Time Algebra, Gordon and Breach, New York 1966;
•  Chevalley C., The Algebraic Theory of Spinors and Clifford Algebras, Springer, Berlin 1996;
•  Lawson H. and Michelsohn M., Spin Geometry, Princeton Math. Ser., 38, Princeton Univ. Press, Princeton NJ 1989;
•  Lounesto P., Clifford Algebras and Spinors, Cambridge Univ. Press, Cambridge 2001;
•  Doran C. and Lasenby A., Geometric Algebra for Physicists, Cambridge University Press, Cambridge 2003;
•  Porteous I., Clifford Algebras and the Classical Groups, Cambridge University Press, Cambridge 1995;
•  Benn I. and Tucker R., An Introduction to Spinors and Geometry with Applications in Physics, Adam Hilger, Bristol and NY 1987;
•  Helmstetter J. and Micali A., Quadratic Mappings and Clifford algebras, Birkhäuser, Basel 2008.

 
С 1991 года регулярно выходит журнал AACA (Advances in Applied Clifford Algebras, Q2-Q3). Последние годы регулярно проводятся различные конференции, посвященные алгебрам Клиффорда и их приложениям в различных науках:

•  ICCA (International Conference on Clifford Algebras and its Applications, каждые 3 года), последние конференции прошли в Китае (2020), Бельгии (2017), Эстонии (2014), Германии (2011);
•  AGACSE (Applied Geometric Algebras in Computer Science and Engineering, каждые 3 года), последние конференции прошли в Чехии (2021), Бразилии (2018), Испании (2015), Франции (2012);
•  Empowering Novel Geometric Algebra for Graphics & Engineering (ENGAGE) Workshop в рамках International Conference “Computer Graphics International (CGI), последние конференции проходили в Швейцарии (2021), (2020), Канаде (2019), Индонезии (2018), Японии (2017);
•  Alterman Conference and School on Geometric Algebra and Kahler Calculas, конференции проходили в Индии (2019), Италии (2018), Болгарии (2017), Румынии (2016);
•  International Conference of Advances Computational Applications of Geometric Algebra (ICACGA), конференция пройдет в США в 2022 году (планируются доклады участников проекта).

Алгебры Клиффорда применяются в различных науках - в физике, геометрии, анализе, компьютерных науках, машинном обучении, инженерии, робототехнике, обработке сигналов и изображений и др. Формализм алгебр Клиффорда оказывается более удобным при решении многих задач по сравнению с матричным формализом. Актуальность настоящего исследования обусловлена дальнейшим применением полученных результатов в различных приложениях. Явные формулы для коэффициентов характеристического многочлена уже применялись автором для решения уравнений Сильвестра и Ляпунова в случае малых размерностей. Характеристический многочлен и связанные с ним понятия (собственные числа, собственные векторы, SVD) являются одними из центральных понятий линейной алгебры и широко используются в компьютерных науках, инженерии, физике, компьютерном зрении, компьютерной графике. Например, eigenfaces применяются в проблеме компьютерного зрения распознавания лиц. Группы Липшица и другие рассматриваемые в рамках данного исследования группы Ли содержат спинорные группы в качестве подгруппы. Спинорные группы естественным образом определяются в случае произвольной размерности и сигнатуры пространства именно в формализме алгебр Клиффорда, вследствие чего формализм алгебр Клиффорда оказывается более удобным для приложений в различных науках при описании вращений. В формализме алгебр Клиффорда связь между спинорными и ортогональными группами в виде двулистного накрытия записывается единообразно в случае произвольной размерности и сигнатуры пространства. Формализм алгебр Клиффорда также естественен для приложений в физике и теории поля. Уравнение Дирака для электрона содержит гамма-матрицы Дирака, которые являются порождающими алгебры Клиффорда сигнатуры (1,3). Отметим, что алгебры Клиффорда изоморфны различных матричным алгебрам над полем вещественных и комплексных чисел, а также над телом кватернионов. Таким образом, все полученные в рамках исследования результаты могут быть переформулированы в терминах соответствующих матричных алгебр.