Семинар «Алгебры Клиффорда и приложения» (2022–2023)

Руководитель семинара: Широков Дмитрий Сергеевич (dm.shirokov@gmail.com)

Секретарь семинара: Филимошина Екатерина Романовна (efilimoshina@hse.ru)

37. О мультивекторном дифференцировании в геометрических алгебрах

Дата семинара: 05.11.2023, 11:00

Докладчик: Петяева Елизавета Николаевна (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада:

В докладе обсуждается мультивекторное дифференцирование в геометрических алгебрах. Приводятся свойства мультивекторного дифференцирования и разбираются некоторые примеры.

Видео семинара: https://youtu.be/Yz02TKCHJsc

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/870817991.html

36. О сингулярном и полярном разложениях в алгебрах Клиффорда

Дата семинара: 21.08.2023, 11:30

Докладчик: Широков Дмитрий Сергеевич (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада:

В докладе будет представлена естественная реализация сингулярного разложения (SVD) и полярного разложения произвольного мультивектора в невырожденных алгебрах Клиффорда произвольной размерности и сигнатуры. Также будут естественным образом введены вспомогательные структуры в алгебрах Клиффорда — операция эрмитова сопряжения, евклидово пространство, унитарные, ортогональные и симплектические группы Ли.

Видео семинара: https://youtu.be/XFTUlt58imU

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/854101435.html

35. Алгебры Клиффорда при исследовании квантовых систем с 2 состояниями

Дата семинара: 19.06.2023, 11:30

Докладчик: Румянцева София Васильевна (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада:

В докладе рассматриваются некоторые методы, известные для эрмитовых операторов на алгебре Ли su(2), и их применение для эрмитовых операторов на алгебре Клиффорда сигнатуры (3,0). Вводится ортонормированный базис квантовых систем с двумя состояниями, заданными на Cl(3,0). Рассматривается алгоритм нахождения собственных значений и собственных функций эрмитовых операторов на Cl(3,0). Исследуется уравнение Шредингера для описания динамики волновой функции частицы со спином 1/2, взаимодействующей с внешним магнитным полем, а также выписывается математическое ожидание для операторов спина.

Видео семинара: https://youtu.be/_6XZCJ24lXk

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/841047736.html

34. О классификации некоторых алгебр Ли в алгебрах Клиффорда

Дата семинара: 10.05.2023, 11:30

Докладчик: Филимошина Екатерина Романовна (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада:

В докладе представлена классификация четырёх семейств алгебр Ли в алгебрах Клиффорда размерности не более 3 и произвольной сигнатуры над полем вещественных и комплексных чисел. Рассмотрены свойства нильпотентности и разрешимости этих алгебр Ли. В случае малых размерностей рассматриваемые алгебры Ли представлены в виде прямых сумм известных алгебр Ли, в частности, классических алгебр Ли, алгебр Ли Гейзенберга и алгебры Ли Пуанкаре. Рассмотрены понятия простой и полупростой алгебры Ли. Приведен пример нахождения системы корней максимальной полупростой подалгебры одной из алгебр Ли.

Видео семинара: https://youtu.be/rcU1BTzfiy0

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/832447733.html

33. Введение в проективную геометрию и проективную геометрическую алгебру

Дата семинара: 25.04.2023, 15:30

Докладчик: Абдулхаев Камрон Сирожиддинович (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада:

В данном докладе рассматриваются основные понятия проективной геометрии, такие как проективное пространство и проективные преобразования. Проективная геометрия - это раздел математики, изучающий свойства геометрических объектов, которые сохраняются при проективных преобразованиях. Также описываются основные свойства проективных преобразований, такие как сохранение коллинеарности и двойного отношения. Представлены некоторые примеры приложений проективной геометрии в компьютерном зрении. Введены основные понятия проективной геометрической алгебры и рассмотрены некоторые примеры применения.

Видео семинара: https://youtu.be/d78Jg_1uA9k

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/829793450.html

32. On some Lie groups in degenerate geometric algebras

Дата семинара: 21.04.2023, 16:30

Докладчик: Филимошина Екатерина Романовна (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада:

We introduce and study several Lie groups in degenerate (Clifford) geometric algebras. These Lie groups preserve the subspaces of fixed parity under the adjoint representation and the twisted adjoint representation. The introduced Lie groups can be interpreted as generalizations of Clifford groups, Lipschitz groups, and spin groups in degenerate case. In the particular cases, the considered Lie groups are closely related to the well-known Heisenberg groups, which are widely used in quantum mechanics and computing. We study the Lie algebras of the considered Lie groups.

Видео семинара: https://youtu.be/D7AKmPIgle4

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/829073529.html

31. О некоммутативной теореме Виета в алгебрах Клиффорда

Дата семинара: 25.01.2023, 12:00

Докладчик: Широков Дмитрий Сергеевич (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада:

Обсуждается обобщение теоремы Виета (формул Виета) на случай алгебр Клиффорда. Обобщенные формулы Виета сравниваются со стандартными формулами Виета для характеристического многочлена. Обсуждается и используется для случая алгебр Клиффорда малых размерностей теорема Гельфанда — Ретаха. Вводится понятие простой безбазисной формулы для определителя в алгебре Клиффорда и доказывается, что формула такого типа существует в случае произвольной размерности. С помощью этого понятия приводится и доказывается обобщенная теорема Виета в алгебрах Клиффорда произвольной размерности.

Видео семинара: https://youtu.be/C8y6V0G00e4

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/810419469.html

30. Дифференцирование элементарных мультивекторных функций

Дата семинара: 14.01.2023, 11:30

Докладчики: Абдулхаев Камрон Сирожиддинович и Петяева Елизавета Николаевна (НИУ ВШЭ)

Место проведения: Покровский бульвар, д. 11, корп. G, ауд. G103

Аннотация доклада:

Доклад посвящен мультивекторному дифференцированию. В рамках доклада, введём все базовые обозначения и виды произведений в геометрической алгебре над полем вещественных чисел. Определим оператор мультивекторного дифференцирования и покажем на примере элементарных мультивекторных функций его применение.

Видео семинара: https://youtu.be/0cz04SUsFWQ

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/808038516.html

29. О некоторых алгебрах Ли в алгебрах Клиффорда

Дата семинара: 02.12.2022, 17:30

Докладчик: Филимошина Екатерина Романовна (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада:

В докладе рассмотрены четыре семейства алгебр Ли в геометрических алгебрах произвольных размерности и сигнатуры. Для этих алгебр Ли найдены универсальные обёртывающие алгебры. В частных случаях показана их связь с универсальными обёртывающими алгебрами известных алгебр Ли Гейзенберга. Также рассмотрены примеры неприводимых, простых, полупростых, разрешимых, нильпотентных и редуктивных алгебр Ли в геометрических алгебрах.

Видео семинара: https://youtu.be/XEjZtn5lgNw

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/799983717.html

28. Уравнение Дирака–Хестенеса в n-мерном случае

Дата семинара: 16.11.2022, 10:00

Место проведения: Покровский бульвар, д. 11, корп. S, ауд. S320

Докладчик: Румянцева София Васильевна (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада:

Выведено уравнение Дирака–Хестенеса из уравнения Дирака для электрона в электромагнитном поле в формализме комплексифицированной алгебры Клиффорда сигнатуры (1,n-1), где n – любое натуральное число, большее 2. Показано, что данные уравнения эквивалентны, то есть, из решения уравнения Дирака можно получить решение уравнения Дирака–Хестенеса и наоборот. Также показано выполнение калибровочной инвариантности уравнения Дирака–Хестенеса в n-мерном случае.

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/796343536.html

27. Введение в мультивекторное дифференцирование (продолжение)

Дата семинара: 12.10.2022, 10:00

Место проведения: Покровский бульвар, д. 11, корп. S, ауд. S328

Докладчики: Петяева Елизавета Николаевна и Абдулхаев Камрон Сирожиддинович (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада:

Данный доклад будет продолжением доклада, представленного на предыдущем семинаре НУГ.

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/782568272.html

26. Введение в мультивекторное дифференцирование

Дата семинара: 05.10.2022, 10:00

Место проведения: Покровский бульвар, д. 11, корп. S, ауд. S328

Докладчик: Петяева Елизавета Николаевна (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада:

На этом семинаре повторим все базовые обозначения и виды произведений в геометрической алгебре над полем вещественных чисел и рассмотрим, как в ней определяются векторное и мультивекторное дифференцирования.

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/779598823.html

25. Уравнение непрерывности в формализме алгебр Клиффорда

Дата семинара: 14.09.2022, 10:00

Место проведения: Покровский бульвар, д. 11, корп. S, ауд. S330

Докладчик:  Темкин Владислав Александрович (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада:

Доклад посвящен выводу уравнения непрерывности из уравнения Дирака-Хестенеса для алгебр Клиффорда произвольной сигнатуры. Показано возникновение дополнительных ограничений на элементы I и E для уравнения Дирака-Хестенеса из условия выполнения уравнения непрерывности. Рассмотрены частные случаи для STA (space-time algebra: p=1, q=3) и p+q=3 (графено-подобный случай).

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/766697218.html

24. Группы и алгебры Ли специального типа в алгебрах Клиффорда

Дата семинара: 30.06.2022, 11:00

Докладчик:  Широков Дмитрий Сергеевич (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада:

Представлена полная классификация алгебр Ли специального типа в комплексифицированных алгебрах Клиффорда. Рассматриваемые 16 алгебр Ли являются прямыми суммами подпространств кватернионных типов. Получены изоморфизмы между алгебрами Ли и классическими матричными алгебрами Ли в случае произвольной размерности и сигнатуры пространства. Представлены 16 групп Ли: по одной группе Ли для каждой алгебры Ли, ассоциированной с этой группой Ли. Изучены связи между рассматриваемыми группами Ли и спинорными группами.

Видео семинара: https://youtu.be/vingV3Q8dbg

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/673363325.html

23. Некоторые задачи аналитической геометрии с использованием геометрической алгебры

Дата семинара: 09.06.2022, 12:30

Докладчик:  Дубнова Евгения Аркадьевна (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада:

Доклад посвящен операциям умножения во внешней и геометрической алгебрах и тому, как они между собой связаны. Понятие операций умножения расширяется на новые объекты - бивекторы и тривекторы. Обсуждаются нестандартные способы решения некоторых задач аналитической геометрии, рассмотрены примеры.

Видео семинара: https://youtu.be/1TgGNyiIvNk

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/649149526.html

22. О некоторых группах Ли в вырожденных алгебрах Клиффорда

Дата семинара: 19.05.2022, 16:40

Докладчик:  Филимошина Екатерина Романовна (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада:

Доклад посвящён результатам, полученным недавно совместно с Д.С. Широковым. В докладе рассматриваются некоторые группы Ли в вырожденных алгебрах Клиффорда. Эти группы Ли сохраняют чётное и нечётное подпространства при присоединённом и скрученном присоединённом действиях. Рассматриваемые группы Ли интересны для изучения спинорных групп и их обобщений в случае вырожденных алгебр Клиффорда.

Видео семинара: https://youtu.be/gZC3q0C1PTE

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/627210933.html

21. Свойства графена в формализме алгебр Клиффорда

Дата семинара: 28.04.2022, 9:00

Докладчик:  Темкин Владислав Александрович (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада:

Доклад посвящен изучению релятивистских свойств электрона в графене с использованием алгебр Клиффорда сигнатур (3,0) и (2,0). Показано, что в случае (3,0) корректно воспроизводится релятивистский спектр, тогда как сигнатура (2,0) оказывается непригодна для этого. Продемонстрировано возникновение явления Zitterbewegung с помощью алгебры Клиффорда (3,0). Показано, как ZBW-интерпретация квантовой механики объясняет возникновение спина, магнитного момента и массы частицы.

Видео семинара: https://youtu.be/ZCnyBk3sfZs

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/605361397.html

20. Об операциях умножения в геометрической алгебре

Дата семинара: 08.04.2022, 19:00

Докладчик:  Петяева Елизавета Николаевна (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада:

В рамках доклада рассмотрены основные свойства операций внешнего, внутреннего и геометрического произведения  для мультивекторов в геометрической алгебре. Дана геометрическая интерпретация. Связь между различными операциями продемонстрирована примерами.

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/587010621.html

19. Уравнения Дирака и Дирака-Хестенеса для электрона в разных размерностях

Дата семинара: 17.03.2022, 11:00

Докладчик:  Румянцева София Васильевна (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада:

Показано, что лемма о единственности представлении элемента левого идеала в виде произведения идемпотента и элемента, принадлежащего четной вещественной подалгебре Клиффорда, выполнена не только в четырехмерном случае, но и в трехмерном случае, важном для исследования свойств графена. Также сохраняется свойство калибровочной инвариантности для уравнения Дирака-Хестенеса в данной размерности. Построен базис левого идеала в 2n-мерном случае и показано, что выполнены леммы, необходимые для доказательства эквивалентности уравнений Дирака и Дирака-Хестенеса.

Видео семинара: https://youtu.be/TxvtpnkfJAc

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/575938850.html

18. Безбазисные формулы для коэффициентов характеристического многочлена в алгебрах Клиффорда

17. Об обобщении групп Липшица и спинорных групп

Дата семинара: 02.02.2022, 12:30

Докладчик: Филимошина Екатерина Романовна (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада:

Доклад посвящен недавним результатам, полученным совместно с Д.С. Широковым. Представлены некоторые новые группы Ли, сохраняющие выделенные подпространства алгебр Клиффорда при скрученном присоединенном действии. Рассматриваются случаи подпространств фиксированных рангов и подпространств, определяемых с помощью реверса и четностного сопряжения. Некоторые из рассматриваемых групп Ли можно интерпретировать как обобщения групп Липшица и спинорных групп. Группы Липшица и спинорные группы являются подгруппами данных групп Ли и совпадают с ними в случае малых размерностей. Изучены соответствующие алгебры Ли.

Видео семинара: https://youtu.be/8Mb0-YzQ0SY

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/559816324.html

16. Свойства уравнений Дирака и Дирака-Хестенеса для электрона

Дата семинара: 20.01.2022, 11:00

Докладчик: Румянцева София Васильевна (НИУ ВШЭ)

Аннотация доклада:

Уравнение Дирака можно записать как в матричном формализме, так и в формализме алгебры Клиффорда. Хестенес предложил новую модификацию уравнения Дирака с использованием четной вещественной подалгебры алгебры Клиффорда. Известно, что уравнения эквивалентны для алгебры Клиффорда сигнатуры (1,3). Изучено, что сохраняется свойство калибровочной инвариантности для уравнения Дирака-Хестенеса. Доказана лемма о единственности представлении элемента левого идеала в виде произведения идемпотента и элемента, принадлежащего четной вещественной подалгебре, в алгебрах Клиффорда сигнатур (p,q): p+q=4. 

Видео семинара: https://youtu.be/pJELFirIMGg

Фото семинара: https://economics.hse.ru/clifford/news/554893489.html

Предыдущие доклады (2021 г.)